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1、第七章 非线性系统,第七章 非线性系统,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,线性系统叠加原理：同时有多个输入和输出的系统，可分别现考虑单个输入和相应输出，转化成研究单输入和单输出系统,然后将结果相加。,线性系统：系统的动态特性可由线性微分方程来描述的系统，可采用“叠加原理”。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,一、非线性系统,非线性元件：,凡是输出与输入的特性不满足线性关系的元件，称为非线性(Nonlinear)元件，或者说该元件具有非线性。,如果一个系统含有一个以上非线性元件(或环节)，则称该系统为非线性系统。,非线性系统：,第七章 非线性系统,7-1 非线性系
2、统的基本概念,二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）,1、死区：,又称不灵敏区。输入信号在零值附近的某一小范围内时，没有输出，只有当输入信号大于此范围时才有输出。输入、输出特性如图7-1a所示。,图7-1a,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类死区,举例：,二极管伏安特性、执行机构的静摩擦、液压阀阀口正重叠等,优缺点：,优点：使系统的振荡情况有所减弱；滤去在输入端的 小幅度干扰；提高系统的抗干扰能力。 缺点：给系统带来稳态误差和低速运动不平稳等不利影响,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）,2、饱和：,当
3、输入信号超过某一范围后，输出不再跟随输入变化，而是保持某一常值。输入、输出特性如图7-1b所示。,图7-1b,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类饱和,举例：,常见于铁磁元件及各种放大器中，如稳压二极管限幅特性、放大器、磁饱和特性等。,优缺点：,优点：利用饱和特性作为信号限幅，保证系统安全可靠地工作。 缺点：使系统在大信号作用下的等效增益降低，深度饱和情况下，甚至使系统丧失闭环控制作用。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）,3、间隙：,又称回环，对于一个给定的输入，其输出是多值的。其输入、输出特性如图7-
4、1c所示。,图7-1c,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类间隙,举例：,松动的齿轮传动、杠杆机构中的轴销配合等均具有间隙非线性；铁磁元件中的磁滞现象是一种回环现象。,优缺点：,缺点：使系统稳态误差增大，使系统输出产生相位滞后，使系统动态性能恶化，系统中应尽量设法消除间隙。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）,4、继电器：,由于继电器的吸合电压和释放电压不等，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，是一多值函数。输入、输出特性如图7-1d所示。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,二、非线性特
5、性的分类继电器,应用：,近代控制理论中，典型的Bang-Bang控制就是采用继电器特性的控制方法。,优缺点：,优点：电器特性使用得当，可用来改善系统的性能。 缺点：继电器特性会造成系统自激振荡、不稳定以及增大稳态误差。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,三、非线性系统的特点,(1) 非线性系统的稳定性不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的输入和初始状态有关。,图7-2,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,三、非线性系统的特点,(2) 非线性系统输出的瞬态过程曲线形状不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与输入信号大小和系统初始条件有关。,图7-3,叠加原理
6、不适用于非线性系统,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,三、非线性系统的特点,(3) 非线性系统可能会存在自激振荡(或称自持振荡)。自激振荡是在没有外界周期变化信号作用时，系统中产生的具有固定周期和振幅的稳定振荡过程，这是非线性系统的又一重要特征，其振荡幅值和频率由系统本身的特性所决定。自激振荡在自由状态时存在，当有输入信号时，自激振荡可能消失，或者被输入信号牵入同步。,(4) 输入为正弦函数时，非线性系统的输出通常是包含有一定数量高次谐波的非正弦周期函数，周期与输入相同，有时也可能出现跳跃、谐振、倍频和分频振荡等现象。,第七章 非线性系统,7-1 非线性系统的基本概念,四、非线
7、性系统分析的方法,(1) 描述函数法 是一种谐波线性化法，属于频域分析方法。它保留系统线性部分，而对非线性环节进行谐波线性化处理，从而来近似分析系统，可以用于高阶系统。,(2) 相平面法 是一种求解非线性方程的图解法，属于时域分析法。它保留系统非线性特性，而将高阶线性部分近似地化成二阶来进行分析，从而使系统分析简单直观。,(3) 李亚普诺夫方法 这是用现代控制理论分析非线性系统的一种方法。它可以根据系统的状态方程直接判断系统的稳定性，此方法需要构造一个李亚普诺夫函数。,(4) 数值解法 这是一种利用数字计算机来求解非线性微分方程的方法。,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,描述函数法(De
8、scribing Function Method)是频率法于一定条件下在非线性系统中的应用，主要用于分析非线性系统的稳定性、自激振荡、正弦信号作用下的输出。,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,一、描述函数的基本思想和使用的基本条件,1基本思想 用非线性环节输出信号中的基波分量(一次谐波分量)来近似取代正弦信号作用下的实际输出。这种方法实质是一种谐波线性化方法，又称一次谐波法。,(2) 非线性特性是斜对称的，即,2描述函数使用的基本条件（对于如图7-4所示的具有基本形式结构的非线性系统 ）,(3) 系统线性部分具有较好的低通滤波器特性,(1) 非线性环节的参量定常，非线性无记忆,图7-4,
9、第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,二、描述函数的定义,设定常非线性环节的输入为 ，由于非线性特性的作用，其输出信号 是一个非正弦周期函数，可用傅立叶级数表示： 由于基本条件2满足，则 ；考虑到基本条件3满足，因此非线性环节输出 可用线性基波分量 来逼近 从而，非线性环节的等效复数增益为 即被定义为非线性元件的描述函数。,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,三、描述函数的求取,无论给出的是非线性常微分方程，还是含典型非线性特性的非线性元件，均可直接利用描述函数定义式求其描述函数。,举例说明,求如图7-5所示饱和特性的描述函数，当输入 ， ，其输出为：,图7-5 饱和特性及其正弦响应,式
10、中：,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,三、描述函数的求取,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,三、描述函数的求取,图7-6,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,描述函数法常用来分析非线性系统的稳定性和自激振荡。描述函数法是频率法在非线性系统中的应用，类似于线性系统中频率法的分析。,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,图77a,图77b,图77c,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,例7-1 具有理想继电器
11、的非线性系统如图7-8所示，试确定其自激振荡的振幅 和频率。,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,图7-9,由线性部分传递函数得：,第七章 非线性系统,7-2 描述函数法,四、用描述函数法分析非线性系统,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,1) 只适用于二阶系统，对高于二阶的系统，可近似地化成二阶系统来分析。,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,一、相平面的基本概念,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,2奇点、奇点类型和极限环(奇线),第七章 非线性系统,7-3 相平面法,这就是二阶线性系统的相轨迹方程。二阶线性系
12、统的特征方程为,，,其特征根为,(1) 当,时，系统处于无阻尼运动状态，特征根为共轭虚根。,此时有,，即,，两侧积分有,式中，,，,为初始状态。,如图7-11a所示。此时，奇点为相平面原点，这种奇点称为中心点。,此时的相轨迹是一族同心圆，,(7-11),(2) 当,，系统为欠阻尼运动状态，特征根为根平面左半部的共轭复数根，系,统的零输入响应呈衰减振荡，最终趋于0。对应的相轨迹是对数螺旋线，收敛于相,相平面的原点，这种奇点称为稳定焦点，如图7-11b。,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,(3) 当,时，系统为过阻尼运动状态，特征根为根平面左半部的两个负实根，系统的,零输入响应是随时间非周期单
13、调衰减到0。对应的相轨迹是一族趋于相平面原点的抛,物线，相平面原点为奇点。这种奇点称为稳定节点，如图7-11c。,(4) 特征根分布如图7-11d所示时，系统的零输入响应是非周期发散的，相应的相轨迹,如图7-11d，这时奇点为相平面原点，被称为鞍点。,(5) 当,时，特征根为根平面右半部的一对共轭复数根，系统的零输入响应是,发散的。相应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线，这种奇点称为不稳定焦点,如图7-11e。,第七章 非线性系统,7-3相平面法,(6) 当,时，特征根为根平面右半部的两个正实根，系统零输入响应是发散的。,相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线，这种奇点称为不稳定节点，如图
14、7-11f。,由上可见，二阶线性系统相轨迹和奇点类型决定于系统特征根的分布，而与初始状态无关,对于非线性系统，在大多数情况下，原非线性系统的相轨迹和其在平衡点附近 小偏差线性,化后的线性系统的相轨迹，在平衡点某个适当的小范围内有着相同的定性特征。只是在平,衡点为中心点时，两者稍有不同，线性化系统相轨迹是以相平面原点为中心的无数条封闭,而非线性系统相轨迹除了有上述中心点形式的相轨迹外，还有可能其相轨迹为一个,一个的孤立的封闭曲线。,曲线，,或多于,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,图7-11 二阶线性系统特征根与奇点,第七章 非线性系统,7-3 相平面法,例7-2 范德波尔方程(Van Der Pol Equation)是,，,试分析其相轨迹的特征。,解 如令,，则范德波尔方程可写为,相平面原点(0, 0)是系统平衡点。,(7-12),第七章 非线性系统,7-3 相平面法,线性化系统的相轨迹中不存在孤立封闭曲线这种类型，而范德波尔方程表示的非线,性系统的相轨迹却有孤立的封闭曲线存在，说明如下：,以范德波尔方程式(7-12)与线性系统方程式
