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1、 1 / 10 2018 北京市西城区高二（下）期末 数 学（理） 2018.7 试卷满分：试卷满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 复数 2i 1i （ ） （A）1 3i （B）33i （C） 13 i 22 （D） 3
2、3 i 22 2. 若函数( )sinf xx，则 ( )( ) 44 f f （ ） （A）2 （B）2 （C）1 （D）0 3. 设函数 32 ( )1f xaxbxcx的导函数为( )fx，若( )fx为奇函数，则有（ ） （A）0,0ac （B）0b （C） 0,0ac （D）0ac 4. 射击中每次击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分. 已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击 击中目标与否互不影响，则他射击 3 次的得分的数学期望是（ ） （A）2.1 （B）2 （C）0.9 （D）0.63 5. 已知一个二次函数( )f x的图象如图所示，那么 1 1 ( )
3、df xx （ ） （A）1 （B） 2 （C） 4 3 （D）2 6. 有 5 名男医生和 3 名女医生. 现要从中选 3 名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有， 那么不同的组队种数有（ ） （A）45种 （B）60种 （C）90种 （D）120种 7. 已知函数( )(1)ex a f x x ，若 0 (0,)x，x0为( )f x的一个极大值点，则实数a的取值范围是（ ） （A）(,0) （B）(4,) （C）(,0)(4,) （D）前三个答案都不对 8. 某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过 7 道工序，分别记为 A，B，C，D，E，F，G. 其中，有些工序
4、因为 y O 1 x 1 -1 2 / 10 是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在 加工顺序关系. 若加工工序 Y 必须要在工序 X 完成后才能开工，则称 X 为 Y 的紧前工序. 现将各工序的加工次序 及所需时间（单位：小时）列表如下： 工 序 A B C D E F G 加工时间 3 4 2 2 2 1 5 紧前工序 无 C 无 C A，B D A，B 现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ ） （假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.） （A）11个小时 （B）10个小时 （C）9个小时
5、 （D）8个小时 第二第二部分部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 9. 函数( )f xx的图象在4x 处的切线的斜率为_. 10. 在 4 2 ()x x 的展开式中，常数项是_.（用数字作答） 11. 已知某随机变量的分布列如下（qR） ： 1 1 P 1 3 q 那么的数学期望( )E_， 的方差( )D=_. 12. 若 4 名演讲比赛获奖学生和 3 名指导教师站在一排照相，则其中任意 2 名教师不相邻的站法有_种. （用 数字作答） 13.
6、设函数 2 e ( ) 1 x f x ax ，其中0a . 若对于任意xR，( )0fx，则实数 a 的取值范围是_. 14. 某电影院共有(3000)n n个座位. 某天，这家电影院上、下午各演一场电影. 看电影的是甲、乙、丙三所 中学的学生，三所学校的观影人数分别是 985 人，1010 人，2019 人（同一所学校的学生既可看上午场， 又可看下午场，但每人只能看一场）. 已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下 午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么 n 的可能取值有_个. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字
7、说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 13 分） 在数列 n a中， 1 1a ， 1 21 n n n a a a ，其中1,2,3,n. （）计算 2 a， 3 a， 4 a的值； 3 / 10 （）猜想数列 n a的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 16 （本小题满分 13 分） 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是 3 4 ，甲、乙两人都回答错误的概率是 1 12 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 1 4 . 设每人回答问题正确与否是相互独立 的. （） 求乙答对这道题的概率；
8、（） 求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 17 （本小题满分 13 分） 设, a bR，函数 32 1 ( ) 3 f xxaxbx在区间( 1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减. () 若2a ，求b的值； () 求函数( )f x在区间1,4上的最小值（用 b 表示）. 18 （本小题满分 13 分） 甲、乙两个篮球队在 4 次不同比赛中的得分情况如下： 甲队 88， 91， 92， 96 乙队 89， 93， 9， 92 乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分） ，无法确认，假设这个数字具有随机性，并用 m 表示 （）在 4 次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平
9、均得分的概率； （） 当5m时， 分别从甲、 乙两队的 4 次比赛中各随机选取 1 次， 记这 2 个比赛得分之差的绝对值为X， 求随机变量X的分布列； （）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m的取值集合.（结论不要求证明） 19 （本小题满分 14 分） 设函数 2 ( )(2)e(1) x f xxa x，其中aR. （）当0a时，求函数( )f x的极值； （）当0a 时，证明：函数( )f x不可能存在两个零点. 4 / 10 20 （本小题满分 14 分） 已知函数( )ln2f xxx. （）求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （）若函数 (
10、)yf xax 在区间( , )e上为单调函数，求实数a的取值范围； （）设函数 2 ( )g xx x ，其中0x . 证明：( )g x的图象在( )f x图象的下方. 5 / 10 数学试题答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. A 7. B 8. A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9. 1 4 10. 24 11. 3 ， 8 9 12. 1440 13. (0,1 14. 12 注：一题
11、两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. 15.（本小题满分 13 分） （）解解：由题意，得 2 1 3 a ， 3 1 5 a ， 4 1 7 a . 3 分 （）解解：由 1 a， 2 a， 3 a， 4 a猜想 1 21 n a n . 5 分 以下用数学归纳法证明：对任何的 * nN， 1 21 n a n . 证明证明： 当1n 时，由已知，得左边 1 1a ，右边 1 1 2 1 1 ， 所以1n 时等式成立. 7 分 假设当()nk k * N时， 1 21 k a k 成立， 8 分 则1nk时
12、， 1 1 11 21 1 21212(1)1 21 21 k k k a k a akk k ， 所以 当1nk时，等式也成立. 12 分 根据 和 ，可知对于任何n * N， 1 21 n a n 成立. 13 分 16.（本小题满分 13 分） （） 解解：记甲、乙、丙 3 人独自答对这道题分别为事件 A，B，C， 1 分 设乙答对这道题的概率( )P Bx， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此 A，B，C 是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 31 ()( )( )(1) (1) 412 P A BP AP Bx 4 分 解得 2 3 x ， 6
13、 / 10 所以，乙对这道题的概率为 2 ( ) 3 P B . 6 分 （）解解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件 M，丙答对这道题的 概率 ( )P Cy ， 7 分 由（） ，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 21 ()( )( ) 34 P B CP BP Cy， 9 分 解得 3 8 y . 10 分 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为()( )( )( )P A B CP AP BP C 323 (1)(1)(1) 438 5 96 . 12 分 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答 对这道题”是对立事件， 所以，所求
14、事件概率为 591 ()1 9696 P M . 13 分 17.（本小题满分 13 分） （）解解：求导，得 2 ( )2fxxaxb. 1 分 因为函数( )f x在区间( 1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减， 所以(1)120fab . 3 分 又因为2a ， 所以3b ，验证知其符合题意. 4 分 （）解解：由（） ，得120ab，即21ab . 所以 32 11 ( ) 32 b f xxxbx ， 2 ( )(1)()(1)fxxbxbxb x. 5 分 当1b时，得当(1,)x时，( )()(1)0fxxb x， 此时，函数( )f x在(1,)上单调递增. 这与题意不符. 7 分 当1b 时， 随着x的变化， ( )fx与( )f x的变化情况如下表： x (,1) 1 (1, )b b ( ,)b ( )fx 0
