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1、台 北 市 第 三 十 五 屆 中 小 學 展 覽 會作 品 說 明 書 封 面科別：物理科組別：高中組作品名稱：以6AF6真空管測量電子荷質比實驗之迷思作品與教材單元相關性說明註明教材單元名稱：指導老師親自簽署認證：編號：目錄一、研究動機.3二、研究目的.3三、研究器材.3四、文獻探討.4五、研究方法.8六、結果討論.10七、結論.16八、參考資料.17一、 研究動機：在高中物理第四冊的實驗課本中有一個以6AF6真空管測量電子荷質比的實驗，在真空管中使電子由管中央之負極射出，在螺線管內磁場的作用下，電子以彎曲的路徑向正極運動，最後投射在塗有螢光物質的漏斗狀正極板上。測量螢光屏上亮點軌跡之曲率
2、半徑，進一步推算出電子之荷質比。但是正極板上電子所打出來的圖形恰好是電子的運動軌跡嗎？若否，其投影點連線之曲率半徑又有何意義呢？基於這個疑問，想要探討以這個實驗求取電子的荷質比是否有原理上的問題。二、 研究目的：(一) 探討課本所述的荷質比測量在理論上是否有誤？(二) 探討投影點連線之曲率半徑與電子的實際的運動軌跡曲率半徑之差距。(三) 探討在何種條件下，此實驗可精確地測出電子荷質比。三、 研究器材：個人電腦一台6AF6真空管( 附尺標 )一具如圖(一)、(二)可調變穩定直流電源(15V)一具可調變高壓直流電源( 110、220V )一具直流安培計一個直流伏特計一個螺線管一具鱷魚夾數條四、文獻
3、探討(一) 6AF6真空管構造：1. 6AF6真空管之構造如圖(一)所示，中心軸為負(陰)極，漏斗狀之螢光屏為正(陽)極，負極之外圍有一燈絲用以加熱負極使產生熱電子。2. 6AF6真空管之內部接線如圖(二)所示，負極產生之熱電子，在負極與正極間徑向電場的作用下，射向正極。3. 將6AF6真空管置於載流螺線管內，如圖(三)所示，電子受軸向磁場之作用而偏轉，使得螢光屏上光點產生偏移。4. 測量電子在螢光屏投影點連線的軌跡半徑，進一步得出電荷質比()圖(二) 6AF6電子管接線示意圖陽極陰極90250VD.C偏向電極燈絲6V A.C或D.C加上垂直磁場後圖(三) 加上垂直磁場前後正極螢光區之變化 正
4、極螢光幕的亮區陰極陽極螢光幕加熱用燈絲(圖一)真空管照片(二)實驗課本公式推導：當一電子e以速率v垂直於磁場B運動時，會受到一作用力F，其值為F=evB(a)由於F與v垂直，故電子在一均勻磁場中將如 (圖三) 作圓周運動，電子質量m，受磁力F作用，即F = ma = m.(b)式中a為加速度，r為圓周運動的半徑由(a)、(b)式可得Bev = m.,.(c)而電子的初能則來自陰極和陽極之電位差V，即eV =m v2.(d)將(d)式代入(c)式即得= .(e)其中電位差V、磁場B，皆可控制，只要利用尺標測出螢光幕上亮光區的曲率半徑r，即可獲得電子的荷質比(e/m)(三)真空管中電場之探討為了模
5、擬實際情況，但又不使計算式過於複雜，超出我們的能力範圍，我們做了以下假設：1. 陰極為一無限長直導線。2. 陰極上各處電子只受到同一水平截面陽極的影響，意即假設電子運動路徑都在同一水平截面上。3. 電子在空間中不互相影響。如圖(四)設在真空管中某一截面處，陰極半徑為R1，陽極之半徑為R2，此處陰極之電荷線密度為，則此截面上與中心相距r處之電場E = ，又陰極與陽極之電位差為V，所以圖(四) 真空管中某一橫截面示意圖R2R1rdr=V得 2k ln = V得 = 此表示陰極上不同位置之電荷線密度不同，越低處R2值越小，電荷線密度則越大。此截面上與軸心相距r之電場E = 五、研究方法：(一) 以相
6、機拍照，取得在以下兩種不同的操縱變因下實驗所得之實際影像：1. 固定外加磁場大小，改變真空管正負極間電場大小。我們可以利用固定產生磁場之螺線管電壓，改變真空管正負極間電壓大小來達到這個效果。2. 固定真空管正負極間電場大小，改變外加磁場大小。同樣的，可以利用固定真空管正負極間電壓大小，改變產生磁場之螺線管電壓來達到這個效果。(二) 寫程式描繪電子同時在電場與磁場作用下之運動軌跡，方法如下：1. 訂定一個以陰極為原點的平面座標系，輸入各項初始值，包括陽極屏幕半徑(r)、電場大小(E)、磁場大小(B)、電子起始位置(x, y)、電子初速度(vx, vy)、電子實際荷質比(k)。2. 當時間t=n(
7、n屬於N，為一微量單位時間)時，計算目前電場及磁場對電子所造成的加速度(ax(n), ay(n)，再推算出目前速度(vx(n)=vx(n-1) +ax(n), vy(n)=vy(n-1)+ay(n)。3. 由2.得到的(vx(n), vy(n)來更新目前電子的座標(x(n+1)=x(n)+vx(n), y(n+1)=y(n)+vy(n)。4. 將電子目前的位置畫在螢幕上。5. 由目前座標判斷電子是否已經碰到屏幕，若已碰觸，則結束模擬；否則回到2.，繼續模擬t=(n+1)。(三) 寫程式描繪電子同時在電場與磁場作用下，在螢光屏上投影點連線，方法如下：1. 給定真空管高度h與半徑R的方程式(參照真
8、空管正極螢光幕實際情況繪製)。2. 算出陰極上某一橫截面的中心電荷密度。3. 對每一橫截面依1.中的方法，跑出粒子軌跡，但不畫出來，只畫出最後碰到邊界的點時電子的位置，即是電子打到正極的點。4. 把每個高度畫出的點疊合起來，就是從真空管上方看到的投影。(四) 計算出實驗電子軌跡及電腦模擬運動軌跡上各點之曲率半徑，並繪成圖表比較。由於電腦模擬運動軌跡時，亦知在某點的運動方向及速度，因此可精確的算出該點曲率半徑。但對於實驗電子軌跡之各點曲率半徑求法，由於軌跡上各點曲率半徑不同，若以人工方法任取三點來求曲率半徑，將會造成很大的誤差，因此我們利用電腦高精確度的特性來輔助解析。求法如下：1. 將相機拍照
9、取得實際之影像掃描入電腦中，並在電腦內對此影像建立一平面座標系。2. 若欲求某點曲率半徑，便在該點附近任取相異三點，將此三點座標帶入數學公式，即可求出該點之近似曲率半徑。六、結果討論：(一) 電腦模擬投影點軌跡與實驗結果之比較：1. 真空管陰陽極電位差150V、螺線管電流0.75A下時，如(圖五)所示，電腦模擬電子的投影點軌跡(藍色)，及實際實驗電子在正極螢光幕打下的連線(綠線)，兩條線完全重合，曲率半徑從陰極到陽極的過程中均由小轉大 (圖六)。圖(五) 真空管陰陽極電位差150V、螺線管電流0.75A2. 將陰極上不同高度處，電子投影點軌跡之曲率半徑作圖，如(圖六)所示。橫軸為該截面上陽極的
10、半徑與陰極最上方橫截面陽極半徑之比值。圖(六)電子投影點連線曲率半徑對電子位置作圖圖(六) 陰極上不同高度截面上投影點軌跡之曲率半徑(二)課本實驗之謬誤：1. 電子自陰極出發後，同時受電場(徑向)與磁場(軸向)作用，即電子並非經電場加速後以等速度v在磁場中運動。2. 電子在螢光屏上投影點的連線(圖七)(圖八)，並非實際電子的運動軌跡。陰極電子陽極螢光屏(圖七) 6AF6真空管縱切面陽極螢光屏陰極電子(圖八) 6AF6真空管俯視圖3. 由(一)我們已知電腦模擬投點軌跡與實驗投影點確實符合，因此可以電腦模擬的數據代替實驗測量數據，免去實驗之測量誤差。以下是我們將電腦模擬數據計算出的曲率半徑代入課本
11、導出的公式(四-2-e)，所求出的荷質比。電壓：150 (V) 磁場大小：3.62 10-3 (韋伯) 曲率半徑：1.05 10-2 (m)求出的荷質比：2.071011 (C/kg)正確荷質比：1.761011 (C/kg)誤差：17.6%由於此數據是經由電腦計算出來，已忽略實驗的測量誤差，但與正確荷質比之誤差仍達17.6%之高，由此可知此實驗所得確實與荷質比無關。(三)實驗課本公式修正：(圖八) 6AF6真空管俯視圖陰極陽極螢光屏電子如圖(九)假設陰極為座標原點，則電子在軌跡末端位置向量與軌跡切線夾角，電子的跡軌半徑為r，則(a)且電子在未端時的速度v滿足.(b)將(b)代入(a)，得.(
12、c)由之前電場公式的推導，在陰極半徑為R1，陽極半徑為R2，電子距中心半f徑為r時E = 其中由於電子位於軌跡末端所以rR2所以：.(d)如此可避開電子運動速度為定值的假設，且只要測量出單電子運動軌跡之曲率半徑與，由(c)(d)兩式即可求出電子荷質比 (四)電腦模擬運動軌跡與電腦模擬投影點軌跡及曲率半徑差異之比較：1. 以正負極間電位差150V、螺線管電流0.75A的條件下為例，如(圖十)所示，電腦模擬單電子運動軌跡(紅線)與電腦模擬電子的投影點軌跡(藍色)兩線頭尾部分吻合，但在中間兩條線有些許差距。(圖十) 以電腦模擬電子運動軌跡及投影點連線圖為一平面座標系單位(公尺)2. 同1.的實驗狀態
13、，如(圖十一)，雖然在(圖十)中，兩線差距似乎很小，但將兩線上平均取200個點後，分別計算各點曲率半徑後比較，發現仍有一定的誤差。圖(十一) 電子運動軌跡(藍)及投影點連線(紅)之曲率半徑變化圖為了探討兩條線在各種電壓、電流狀態下差異大小變化趨勢，我們從兩條線上平均取200個點，以兩組數據相減後取均方根所得到的數據，作為比較兩線差異大小的指標。3. 固定加速電壓時，在各種螺線管電流下電子運動軌跡和投影點連線之曲率半徑差值方均根比較：(圖十二) 等電壓下螺線管電流對曲率半徑差值均方根之變化圖由(圖十二)可歸納得知，當真空管電壓固定時，螺線管電流越大，其曲率半徑差之均方根也就越小，即電子運動軌跡與投影點連線兩條線間之差異越小。4.固定加速電壓時，在各種螺線管電流下電子運動軌跡和投影點連線之曲率半徑差值均方根比較：(圖十三) 螺線管等電流下電壓對曲率半徑差值均方根之變化圖由(圖十三)可歸納得知，當螺線管電流固定時，真空管電壓越小，其曲率半徑差之均方根也就越小，即電子運動軌跡與投影點連線兩條線間之差異越小。綜合3.4.兩點可得，螺線管電流越大，真空管電壓越小，電子運動軌跡與投影點連線兩條線間之差異也就越小。 (五
