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1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第2章 平面体系的几何组成分析, 本章教学的基本要求：掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。, 本章教学内容的重点：几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。, 本章教学内容的难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面体系的几何组成性质。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.1 几何不变体系和几何可变体系 2.2
2、几何组成分析的几个概念 2.3 平面体系的计算自由度 2.4 平面几何不变体系的基本组成规则 2.5 几何可变体系 2.6 几何组成分析的方法及示例 2.7 静定结构与超静定结构, 本章内容简介:,第2章 平面体系的几何组成分析,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.1 几何不变体系和几何可变体系,2.1.1 几何不变体系和几何可变体系,1. 几何不变体系受到荷载等外因作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。,几何不变体系示例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 几何可变体系受到荷载等外因作用后，由于刚体运动，
3、其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。,2.1.1 几何不变体系和几何可变体系,2.1 几何不变体系和几何可变体系,几何可变体系示例,几何可变体系示例,几何可变体系示例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.1.2 造成几何可变的原因,1. 内部构造不健全：如图a所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，则当结点C处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成了几何可变体系。,a) 几何不变体系,b) 几何可变体系,2.1 几何不变体系和几何可变体系,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院
4、,2. 外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体系；但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示，则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可变体系。,a) 几何不变体系,b) 几何可变体系,2.1.2 造成几何可变的原因,2.1 几何不变体系和几何可变体系,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.1.3 几何组成分析的目的,结构必须是几何不变体系才能承担荷载。 几何组成分析的目的：主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；,2.1 几何不变体系和几何可变体系,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.2.2
5、 自由度,体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。,平面内一个点的自由度为2。,平面内一根杆件（一个刚片）的自由度为3,2.2 几何组成分析的几个概念,2.2.1 刚片,体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.2.3 约束,减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装置是1个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。,1. 链杆的约束作用
6、,1根链杆相当于1个约束。,2.2 几何组成分析的几个概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 铰的约束作用,(1) 单铰（连接两个刚片的铰）,1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。,(2) 复铰（连接两个刚片以上的铰）,连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约束。,2.2 几何组成分析的几个概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3. 刚结的约束作用,(1) 单刚结（连接两个刚片的刚结）,1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。,(2) 复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）,连接n个刚片的复刚结可折算
7、成（n-1）个单刚结，相当于3(n-1)个约束。,2.2 几何组成分析的几个概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.2.4 必要约束和多余约束,1. 必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，则此约束称为必要约束。,2. 多余约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而改变，则此约束称为多余约束。,a) 无多余约束,b) 有多余约束,c) 有多余约束,2.2 几何组成分析的几个概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.2.5 实铰和虚铰,1. 实铰,2. 虚铰（瞬铰）,【注意】形成虚铰的两链杆
8、必须连接相同的两个刚片。,2.2 几何组成分析的几个概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.3 平面体系的计算自由度,2.3.1 体系的实际自由度S与计算自由度W的定义,1. 体系的实际自由度S,体系是由对象（刚片或铰结点部件）加上约束组成的。 令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为a，必要约束数为c，则,S a c,2. 体系的计算自由度W,将上式中的必要约束数c改为全部约束数d，则,W a d,只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度W才等于实际自由度S。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.3 平面体系的计
9、算自由度,2.3.1 体系的实际自由度S与计算自由度W的关系,3. 体系的多余约束数n,体系的必要约束数c与多余约束数n之间有如下关系,n d c,4. 计算自由度W 实际自由度S,证明：因为,W a d = a c n = S n,而n0，因此W S n S。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.3.2 平面体系的计算自由度,1. 刚片体系的计算自由度,W3m-(3g+2h+r),其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数， r为与地基之间加入的支杆数。,以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为,2.3 平面体系的计算自由度,All Ri
10、ghts Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d时考虑进去。,图a是内部没有多余约束的刚片，而图b、c、d则是内部分别有1、2、3个多余约束的刚片，它们可以看作在图a的刚片内部分别附加了一根链杆或一个铰结或一个刚结。,(1) 地基是参照物，不计入m中。,在应用公式时，应注意以下几点：,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复铰结应折算为单刚结或
11、单铰结数目）计入g和h。,(4) 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h，而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。,解：m=9，g=3，h=8, r=6,W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(33+28+6) = -4,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例2-2】试求图示体系的计算自由度。,解：m=9，g=4， h=7， r=3,W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(34+27+3
12、) = -2,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例】试求图示体系的计算自由度。,解：m=9，g=6， h=4， r=9,W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(36+24+9) = -8,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 铰接链杆体系的计算自由度,W=2j-(b+r),其中：j为体系的铰结数； b为链杆数为； r为支杆数。,【注意】在计算j时，凡是链杆的端点，都应当算作结点，而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中；在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，
13、因为链杆是内部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。,解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，同时还都是固定铰支座。因此，该体系的铰结数j=5，链杆数b=4，支杆数r=6。故由公式(2-4)，可得,W = 2j-(b+r) = 25-(4+6) = 0,2.3 平面体系的计算自由度,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.3.3 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系,先求出图示各体系的W。,可看出存在以下三种情况：,(1
14、) W0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度，为几何可变体系。SW0，即S0，体系几何可变。,2.3 平面体系的计算自由度,a) W=10 b) W=0 c) W=-10,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) W=0时，体系具有成为几何不变体系所必须的最少约束数目，但体系不一定是几何不变的。 SW=0，即S 0，体系几何组成性质不确定。,2.3.3 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系,2.3 平面体系的计算自由度,a) W=10 b) W=0 c) W=-10,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) W0时，体系有多余约束，
15、但体系也不一定是几何不变的。 SW，但S不可能为负值，即S 0，体系几何组成性质不确定。,2.3.3 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系,2.3 平面体系的计算自由度,a) W=10 b) W=0 c) W=-10,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 若W0，只表明具有几何不变的必要条件，但不是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的布置是否合理。,(1) 若W0，体系一定是几何可变的。,由此可知：,2.3 平面体系的计算自由度,2.3.3 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系,a) W=10 b) W=0 c) W=-10,All Rights
16、 Reserved,重庆大学土木工程学院,2.4 平面几何不变体系的基本组成规则,2.4.1 二元体规则（固定一点规则） 一个点与一个刚片的联结方式,总规则：铰结三角形是几何不变的。,规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造，称为二元体。于是，规则也可用二元体的组成表述为：,由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上（或取消）若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分析带来方便。,2.4.1 二元体规则,在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约束的体系。,2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
