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1、第3章 正弦交流电路分析,3.1 正弦函数的相量形式 3.2元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 3.3 阻抗与导纳 3.4正弦稳态电路的分析 3.5 正弦稳态电路的功率 3.6 谐振,动态电路 如果电路中包含有储能元件（即电容C、电感L，又称为动态元件），则称为动态电路。由于动态电路中存在储能元件，使电路的响应不仅与当时的输入电源有关，还与电路中储能元件所储存的能量有关。 稳态电路 如果电路中各元件的电气参数和联接关系不变（即没有开关器件），电源为直流或幅值恒定的周期性信号，经过无限长的时间后，电路中的储能元件所储存的能量达到稳定或呈周期性的稳定变化，称电路为稳态电路。,3.1 正弦函数的相
2、量形式,3.1.1正弦量,1.正弦量的特征,瞬时值 i（t）表示正弦量在每一瞬时的数值。 最大值 Im 表示正弦量的最大值或振幅。 角频率 是正弦量的角频率，它反映正弦量变化的快慢。其单位为弧度 / 秒（rad/s）。,相位 (t +i)表示是正弦量随时间变化的弧度或角度，称为瞬时相位（简称为相位）。,3.1.1正弦量,1.正弦量的特征,相位 (t +i)表示是正弦量随时间变化的弧度或角度，称为瞬时相位（简称为相位）。 初相角 i表示t=0时的相位，称为初相角（或初相位）。,一个正弦量若已知Im、i ，则可写出正弦量的解析式或画出其波形。所以通常称Im、i为正弦量的三要素，也是分析电路时用到的
3、3个基本特征量。,解,根据已知参数，得,2. 相位差,相位差 描述同频率下的不同正弦量之间相位的差别。,例如，设有两个正弦量为,它们的相位之差为,两个正弦量的相位关系可以分为图3-3所示的几种情况。,2. 相位差,相位差 描述同频率下的不同正弦量之间相位的差别。,例如，,它们的相位之差为,两个正弦量的相位关系可以分为图所示的几种情况。,例如，,3. 有效值,有效值 是按等值热效应概念来定义的。用周期电流和直流电流流过等值的电阻，在相同时间T（周期电流的一个周期）内，若两者产生的热效应相等，则称直流电流的数值为周期电流的有效值。,一周T内直流电流I在电阻R上产生的热量为,根据有效值定义，有,得,
4、同理，正弦交流电压的有效值与最大值的关系有,3.1.2正弦量的相量表示,最大值相量,有效值相量,相量除了用复数式表示外，还可以在复平面上用有向线段表示相量，称为相量图。,解,正弦量u1（t）的相量式为,正弦量u2（t）的相量式为,解,由相量,得,注意： 相量是用来表征正弦量的，它本身并不是正弦量。在电路分析时要注意两者的区别。正弦量是时间t的函数，是随时间变化的实数；相量是正弦量特征的表达式，是不随时间变化的复常数。即,3.1.3复数,复数的表示,1. 复数表达式,（1）代数式,（2）极坐标式,A1为复数的模，1为复数的辐角,（3）三角式,复数的表示,1. 复数表达式,（1）代数式,（2）极坐
5、标式,（3）三角式,（4）指数式,2. 复数四则运算,（1）加减运算,即：加减运算为实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。,用平行四边形法求和差运算，如图所示。,（1）加减运算,（2）乘除运算,3. 正弦量的微分,已知：,（1）加减运算,（2）乘除运算,3. 正弦量的微分,4. 虚数,3.2元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式,3.2.1元件伏安特性的相量形式,当正弦量用相量来表示时，在正弦量激励下的电路基本元件特性可以用相量关系来表征。这样电路中变量间的微积分运算转化为了简单的复代数运算，实现用相量法来分析电路。,1电阻元件R,欧姆定律,设电阻元件R的电流为,广义的欧姆定律,电压u与电流i同相
6、位,相量图,相量电路,2电感元件L,伏安特性定义,设电感元件L的电流为,相量电路,相量图,XL称为感抗,电感上的电压总是超前电流相位90,广义的欧姆定律,3电容元件C,设电容元件C的电压为,伏安特性定义,XC称为容抗,相量电路,相量图,电容上的电压总是滞后电流相位90,广义的欧姆定律,3.2.2 基尔霍夫定律的相量形式,1. KCL的相量形式,在正弦交流电路中，任一结点上，任一时刻，基尔霍夫电流定律有,在同频率条件下，KCL的相量形式为,或,例3-11 在同频率电源激励下，电路中某结点电流关系如图所示，试写出该结点的KCL相量方程。,解,设流入结点的电流为正，则流出结点的电流为负。有,即：解题
7、的方式方法与直流电路相似，所不同的是计算中采用的数学工具是相量法。,2. KVL的相量形式,在正弦交流电路中，任一闭合路径，任一时刻，基尔霍夫电压定律有,在同频率条件下，KVL的相量形式为,或,例3-12 如图所示电路中的电源为同频率电源，试列出回路的KVL相量方程。,解,3.3 阻抗与导纳,3.3.1 阻抗与导纳基本概念,在正弦量激励下，基本元件（RLC）用相量表示其伏安特性时，都具有广义的欧姆定律特征。因此，其端口电压相量与电流相量的比值定义为该二端网络的阻抗Z，即,称为欧姆定律的相量形式,等效阻抗Z,RLC构成的二端网络N0,3.3.1 阻抗与导纳基本概念,等效阻抗Z,RLC构成的二端网
8、络N0,阻抗模Z、电抗X、电阻R和阻抗角Z的关系可以用阻抗三角形来表示。,3.3.1 阻抗与导纳基本概念,复数的导纳Y,式中，G为等效电导，B为等效电纳， 单位为西门子（S）。,3.3.2 阻抗串并联电路,1. 阻抗串联电路,根据KVL，有,元件的伏安特性有,3.3.2 阻抗串并联电路,1. 阻抗串联电路,等效阻抗Z为,解,方法1：计算法,设电流相量为,方法2：相量图法,解,方法2：相量图法,结论：阻抗的串联电路计算，在形式上与电阻的串联电路计算相似。对于有n个阻抗串联电路，则其等效总阻抗Z为,2. 阻抗并联电路,并联电路的等效导纳Y为,例3-15 已知如图所示电路中电流表读数为：电流表A1=
9、7A、A2=8A、A3=15A。试求电流表A和A4的读数。,解,设,结论：阻抗的并联电路计算，在形式上与电阻的并联电路计算相似。对于有n个导纳并联电路，则其等效总导纳Y为：,例3-16 电路如图所示，已知电路中各阻抗参数，试写出等效阻抗Z的表达式。,解,3.4 正弦稳态电路的分析,电路的相量模型仍受到两类线性约束，即相量形式下的元件伏安特性约束和基尔霍夫定律约束。所以，前面所讨论的线性电路的性质、分析方法和线性电路定理等，都有可以直接应用于相量电路模型分析中。 相量模型电路分析时应注意： 1）相量分析的对象必须是正弦稳态电路。 2）由于感抗和容抗的大小与频率有关，所以电路中的信号源必须是同一频
10、率的正弦交流电。如果信号源是多个频率的，则必须利用电路的线性特性（叠加性），用每一个频率的信号源单独作用求其相量解，然后将不同频率的时间函数响应叠加。,解,（1）求开路电压,（2）求等效阻抗Z0,（3）戴维南等效电路求,（2）求等效阻抗Z0,（3）戴维南等效电路求,3.5 正弦稳态电路的功率,3.5.1 功率,二端网络N为RLC无源电路 ，其正弦,稳态电压和电流分别为,1. 瞬时功率,2. 有功功率（平均功率）,例3-22 试计算如图所示电路阻抗Z1上的有功功率，。,解,3. 无功功率,当电路为纯电感L电路时，有,当电路为纯电容C电路时，有,4. 视在功率,许多电力设备把可能达到的最大有功功率
11、定为设备的容量，称为视在功率。即定义为,根据有功功率P、无功功率Q、视在功率S和功率因数角的定义，可以用功率三角形来表示它们之间的关系。如图所示。,5. 复功率,则,式中，,正弦交流电路中，由于各支路电压满足KVL、各支路电流满足KCL，可以证明复功率守恒，即,例3-27 电路如图所示。有功率为60W、功率因数为0.5的日光灯（感性）50只与功率为100W的白炽灯60只并联在电压为220V、频率为50Hz的正弦交流电源上。试求电路的有功功率、无功功率和功率因数。,解 日光灯的有功率为,白炽灯的有功功率为,电路总有功功率为,电路的无功功率为,电路功率因数为,3.5.2功率因数的提高,电路的功率因
12、数由负载决定，当功率因数1时，电源与负载之间存在能量交换（无功功率），结果使电源设备的容量得不到充分利用，降低了供电设备的利用率，增加了供电传输线上的损耗。因此，在电力系统中，功率因数是一项非常重要的技术指标，供电方对用户方的要求是功率因数越大越好。,解,设：,由相量图得,解,解,（1）求i（t）、P、Q、S和,设,电路的复功率为,所以得,解,（1）求i（t）、P、Q、S和,设,所以得,解,（2）若电源的额定电压为100V，额定电流为40A，求并联R及并联R后电路的P和,电源额定值为,因电路的无功功率Q不变，可得电路的P为,并联的电阻R所吸收的有功功率PR为,所以并联的电阻R值为,解,（2）求
13、并联R及并联R后电路的P和,所以并联的电阻R值为,并联电阻R后，电路的功率因数,解,（3）若使原电路的功率因数提高到0.9，求并联的电容C值,并联电容C后:,所以并联电容C为,3.5.3 最大功率传输,负载获得的最大有功功率为,3.6 谐振,3.6.1串联谐振,1. 串联谐振电路,发生串联谐振的条件为：,谐振角频率为,谐振频率为,2. 串联谐振的特征,（1）阻抗最小 、电压u与电流i同相位，,（2）L与C的能量关系,（3）品质因素Q,3.6.2 并联谐振,1. 并联谐振电路,发生并联谐振的条件为：,谐振角频率为,2. 并联谐振的特征,3.6.2 并联谐振,2. 并联谐振的特征,（1）导纳最小
14、、电压u与电流i同相位 ，,（2）L与C的能量关系,（3）品质因素Q,解,谐振频率 为,故,解,小 结,一、正弦量与相量 1正弦量 1）一个正弦量可由三要素确定。,2正弦量的相量形式 1）相量式,2）相量图,2基尔霍夫定律的相量形式,KVL,KCL,3阻抗,三、正弦稳态电路的分析 1相量式分析法 1）由时域电路图作相量电路图； 2）运用线性电路的各种分析方法和电路定理，以相量形式分析相量电路。 2相量图分析法 运用元件上电压与电流的相位关系，用作相量图法分析相量电路。,四、正弦稳态电路的功率及功率因数,1功率,1）瞬时功率,2）有功功率,3）无功功率,4）视在功率,5）复功率,注意：视在功率不守恒，即,获得最大功率。,2功率因数提高,五、谐振电路 谐振电路中的电压与电流同相。 1串联谐振 1）发生串联谐振的条件为：串联电路的阻抗Z的虚部为零，即,2）在满足谐振条件下，电路的频率为并联谐振频率,
