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1、1,2,第十章 回归分析,10.1 一元线性回归,本章的主要目的是讨论变量之间的关系。,早在十九世纪，英国生物统计学家高尔顿在研究,父子身高的遗传关系时，测量了1078对父子的身高,用x表示父亲的身高，用y表示成年儿子的身高,(单位:英寸,1英寸=2.54cm),发现这样一个关系式,3,这表明,父亲的身高每增加一个单位，其儿子的身高平均 增加0.516个单位；,高个子的父辈有生高儿子的趋势，但是一群高个 子父辈的儿子们的平均身高要低于父辈的平均身高。如x=80, 则y=75.01；,矮个子的父辈有生矮儿子的趋势，但是一群矮个子父辈的儿子们的平均身高要高于父辈的平均身高。如x=60, 则y=64
2、.69。,4,这便是子代的平均身高有向中心回归的意思。因此讨论变量之间的关系称为回归分析。随着计算机的发展，回归分析的应用越来越广泛。,回归分析处理的是变量与变量之间的关系。相互联 系的变量间有两种类型：,一类是确定的函数关系，例如已知正方形的边长 为a，该正方形的面积为A= a2，A与a之间有确定 的关系。,5,另一类是不完全确定性相关，例如某种树的树龄与树高的关系，一般讲树龄长，则树相对较高，这不是绝对的，但在大量的试验和统计中有着相当稳定的规律，这种关系称为统计相关。 它在实际问题中经常出现，臂如讨论价格与销量的关系；身高与体重的关系；作物产量与施肥量、气候的关系；产品的寿命与多种原料质
3、量的关系等等。,6,本章的目的: 是通过统计相关变量间对应的观察值，找一个确定的函数关系或数学模型来表示这种统计规律性。 即由样本观察值分析探求它所依从的统计规律。把分析探求变量之间关系的方法称为回归方法，回归的结果（即确定的函数关系）称为回归函数。,7,例101 某水库的蓄水量y 与时间t有关，下表 （表101）是17月份的数据记录:,数据表明，总的趋势是蓄水量随时间增长而减少， 若能找到近似描述该关系的回归函数，对于预测和 控制有很大的作用。,8,回归函数的获取可分为三个步骤 (1). 确定相关变量间的函数类型，它常从实际经验中得到，所以这种数学表达式也称为经验公式. (2).依据回归标准
4、，确定待定参数得到回归函数. (3).检验和判断建立的回归函数有效性. 第(2)步是本章讲述的重点。,9,收集数据,一、模型,例101 某水库的蓄水量y 与时间t有关，下表 （表101）是17月份的数据记录:,10,画散点图,11,观测散点图,如果n个点在某直线附近波动,但不完全在,一直线上,认为由两部分构成,可得一元线性回归的数学模型：,12,对回归方程的可信度作检验；,回归方程的作用：预测，控制。,13,二、参数的最小二乘法估计,1.准则：,记,为残差平方和。,（一） LSE的求法,14,2.求法：,，又 是 的可微函数，有极值。,正规方程组：,15,从而 代入得,16,回归方程有两种形式：,两点。,回归直线过,17,1,3 ，当 时， 与 独立,2,（二) 估计量的分布及有关性质,18,4 仍服从正态分布，,19,（1） （2） 相互独立,定理 在回归模型下有,20,
