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1、第二章 逻辑代数基础,2.1 逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的基本定理和规律 2.3 逻辑函数表达式的形式与变换 2.4 逻辑函数的化简,2.1.1 三种基本运算,逻辑乘(与)、 逻辑加(或)、 逻辑反(非),一、与运算,F,E,A,B,某个事件受若干个条件影响，若所有的条件都齐,备，该事件才能成立，称为逻辑乘(与)。,二、或运算,F,E,A,B,即：Ff(A，B)ABAB,一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一,个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关,系称逻辑加（或）。,三、非运算,F,E,A,R,2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等,一、 逻辑函数的定义,(1) 逻辑变量和逻
2、辑函数的取值只有0和1。,二、逻辑函数的相等,判断两个逻辑表达式是否相等的方法有：,1、列表法,2、利用逻辑代数的公理；定理和规则证明。,2.1.3 逻辑函数的表示方法,一、真值表(便于直观的观察变量和函数之间的关系) *,二、逻辑函数表达式(便于获得逻辑电路图) *,三、卡诺图(主要用于逻辑函数化简),四、时序图、时间图(工作波形图) *,2.2.1 逻辑代数的基本定理,一、公理,三、交换律,二、公式(可由公理推出),四、结合律,五、分配律,A(BC)=(AB)C=(AC)B,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C) 加法的分配
3、律,六、摩根律,证：用真值表法证明,七、常用公式,证：,推广：,证：,2.2.2 重要规则,一、代入规则,例:,令 代入式中,则,以此推广得到摩根律的一般形式:,二、反演规则,例1：,例2：,(直接去掉反号),其实反演规则就是摩根律的推广。,例3：,按反演规则可直接写出：,若用摩根律则先对原函数两边取非，得：,三、对偶规则,(2)若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,(1)若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。,结论:,由 F(A，B，C )求F(A，B，C ),(3) (F)=F,即对对偶式再求对偶就得原函数本身。,利用对偶规则有时可以简化等式的证明。,例：试证 A+BC=(A+B)
4、(A+C),令: F1=A+BC F2=(A+B)(A+C),求两个函数的对偶:,F1=A(B+C)=AB+AC F2=AB+AC,因为 F1= F2 所以 F1=F2 得证,四、展开规则,例：试化简下列函数：,解：,2.2.3几种导出(复合)的运算,A,A,A,B,B,B,C,C,C,D,D,D,F,F,F=AB+CD,1,+,1,A,B,F,C,D,&,&,1,异或的逻辑符号:,同或的逻辑符号:,异或,同或,异或和同或的真值表如下:,异或和同或的基本运算公式,(4)结合律,(5)分配律,A(B C)=AB AC,(3)交换律,若 A B=C 则 A C=B 或 B C=A,(6) 因果互换
5、律,A+(B C)=(A+B) (A+C),(7) 常用式子,2.2.4 正逻辑与负逻辑,各种逻辑运算最终是通过相应的逻辑门来实现的。,与门 或门,或门 与门,与非门 或非门,或非门 与非门,异或门 同或门,同或门 异或门,同一个逻辑电路，在不同的逻辑假定下，其逻辑,功能是完全不同的。如下表：,如:正逻辑与门 F=AB ,对应负逻辑的或门 F=A+B,由上可见:同一个电路的正逻辑表达式与负逻辑,表达式互为对偶式.,例：正逻辑的与门等价负逻辑的或门,0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1,0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1,+3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1,+3.6V
6、 +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0,2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式,一、标准与或式(积之和)、最小项和式,二、标准或与式(和之积)、最大项积式,如:,如:,2.3.2 逻辑函数的标准形式,一、最小项,* 最小项的几个性质,如三变量ABC=101,则值为1的最小项是,(3),即任意两个不相同的最小项的乘积为0。,(4) 所有最小项的和为1。,例：,(6) 任一个n变量的最小项，都有n个相邻的最小项。,二、最大项,看作1。,在最大项中，将和项中的原变量看作0，反变量,最大项的几个性质：,如三变量ABC101，则：,(2)任意两个不相同的最大项之和为1。,(3) 全体最大项之积为
7、0,例:,例:,(5),例:,A B C 最小项 编号 最大项 编号,1 1 1 m7 M7,1 1 0 m6 M6,1 0 1 m5 M5,1 0 0 m4 M4,0 1 1 m3 M3,0 1 0 m2 M2,0 0 1 m1 M1,0 0 0 m0 M0,2.3.3 逻辑函数表达式的转换,一、代数转换法,用代数法求一个函数的“最小项之和”的形式：,第一步：将函数式变换成一般“与或”表达式,用代数法求一个函数的最大项之积的形式：,第一步：将函数表达式转换成一般“或与”式。,例1: 将 转换成最小项之,和。,(1)将表达式变换成“与或”表达式。,解:,(2)变换为标准积之和,解:,例2. 将
8、 变换成最大项之,积。,(1)将表达式变换成“或与”表达式,以上是利用加法的分配律进行折分，下面继续用,加法的分配律：,例1:将 表示成最小项之和。,(2) 变换为标准和之积表达式(反向应用最大项定,理：只有一个变量互反的两个最大项的乘积等于相,同变量之和)：,二、真值表转换法,0 0 0 0,0 0 1 0,0 1 0 1,0 1 1 0,1 0 0 1,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,根据真值表可得：,A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0,例2. 将上式表示成最大项之积
9、。,2.4.1 公式法化简,最简: (1) 乘积项(或逻辑相加项)最少。,(2) 每项中变量数最少,化简方法:,(1) 公式法(利用公理;定理和规则),(2) 卡诺图法,(3) 列表法,一、与或式化简,1、并项法，利用定理,例1：,例2：,3、消去法，利用定理,例3,2、吸收法，利用定理,4、配项法，利用,及,例4：,例5:,例6:,例7:,例1:,例8:,二、或与式化简,例2:,2.4.2 卡诺图化简法,一、用卡诺图表示最小项,AB,CD,F3,00,01,00,01,10,10,11,11,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,
10、m15,BC,DE,F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,m15,BC,DE,F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m16,m17,m18,m19,m20,m21,m22,m23,m24,m25,m26,m27,m28,m29,m30,m31,A=0,A=1,F5,AB,CDE,00,01,11,10,000,001,011,010,110,111,101,100,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,
11、m15,m16,m17,m18,m19,m20,m21,m22,m23,m24,m25,m26,m27,m28,m29,m30,m31,最小项为1时的变量取值(1为原变量,0为反变量)。,图形两侧标注的“0”和“1” 表示使对应小方格内,二、卡诺图化简法,1、将最可能多的2n(n=0,1,2 )个相邻的1格圈在,一起，得到一个卡诺圈，对应卡诺圈发生过变化的,变量被消去，没变化过的保留，以此得到一个乘积,项。,2、按1将卡诺图中所有的“1”格圈完。,3、将所得到的乘积项相加，得到函数的最简与或,4、任何一个“1”格可以多次圈用.,7、卡诺图中的卡诺圈应尽可能的少。,式。,0,0,1,1,A,B,
12、F1,1,1,1,0,0,1,1,A,B,F2,1,1,(1)、圈“1”所得的逻辑函数表达式,00,01,10,11,0,1,BC,A,F3,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F3,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F4,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F5,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F6,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F7,1,1,1,1,1,1,1,1,F7=1,AB,CD,F8,00,01,00,01,10,10,11,11,1
13、,1,1,1,1,1,1,1,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F9,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F10,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F11,1,1,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,F12,1,1,(2)、圈“0”所得的逻辑函数表达式,AB,CD,F13,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0
14、,0,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F14,0,0,0,0,0,0,0,0,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F15,1,1,0,0,0,0,0,0,1、把与或式化成标准与或式填入卡诺图,三、如何用卡诺图对逻辑函数化简,例1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F,1,1,1,1,化简后: F=AC+AB+BC,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,F,2、把与或式的每一项直接填入卡诺图,例2:,3、化简为或与式,例: F(A,B,C,D)=M(3,7,11,12,13,14,15),解: 将函数用“最小项之和”形式表示
