《测试信号分析与处理 教学课件 ppt 作者 宋爱国 刘文波 王爱民 第5章 离散傅里叶变换应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《测试信号分析与处理 教学课件 ppt 作者 宋爱国 刘文波 王爱民 第5章 离散傅里叶变换应用（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第五章 离散傅里叶变换的应用,用DFT逼近连续时间信号的频谱,5.1,用FFT计算线卷积和相关运算,5.2,倒频谱分析,5.3,系统频谱响应函数分析及确定,5.4,,内容提要,离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）的重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于工程上的实用性，凡是可以利用傅里叶变换进行分析、综合和处理的技术问题，都能利用FFT有效地解决。本章将详细介绍和分析利用DFT逼近傅里叶变换时存在的问题和解决的方法，如何利用DFT实现快速卷积及相关运算，倒频谱的基本概念及应用等内容。,,第一节 用DFT逼近连续时间信号的频谱,工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号，大多是连续非周
2、期信号，这种信号无论是在时域或频域都是连续的，其波形和频谱如图5-1所示。,图5-1 连续非周期信号时域波形和频谱,,（5-1）,（5-2）,由式（5-1）、式（5-2）和图5-1，可以看出 1）两式中的积分区间均为（，）； 2） 和 都是连续函数。,,显然，上述两点无法满足计算机进行数字信号处理的要求，若要应用FFT进行分析和处理，必须在时、频域进行有限化和离散化处理。有限化和离散化处理是在时、频域对被处理的连续信号近似或逼近，是一种近似处理。,,主要内容,,一、时域的有限化和离散化,时域的有限化，就是对信号的延续时间沿时间轴进行截断，反映在图5-2中，是把时间区间由（，）限定为（0， ）。
3、,,一、时域的有限化和离散化,时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样后，有 则 ， ，其结果如图5-2所示。,,一、时域的有限化和离散化,那么，原连续信号的频谱离散化后，可近似表示为 经有限化，即n由（，）近似为（0， ） ，上式可表示为 要进行数字谱分析，上式中的还须进行有限化和离散化。,（5-3）,（5-4）,,二、频域的有限化和离散化,时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时域上对 进行了抽样，则在频域上将引起频谱的周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓周期为 ），如图5-3所示。 图5-3 时域离散化后的频谱,,二、频域的有限化和离散化,（5-5）,与时域一样，对频域也要进行有
4、限化和离散化处理。频域的有限化，是在频域轴上取一个周期的频率区间 。频域的离散化，就是对一个周期内的频谱进行抽样， 有（ ）,则,,二、频域的有限化和离散化,需要指出，上式中， 代表信号截断的时间长度，不是信号周期概念，因为原信号是非周期信号； 也不是基频的概念，而是频谱离散化后相邻离散点的频率间隔。因此为了与周期信号离散谱的符号 相区别，用 来表示非周期信号频谱离散化后的频谱。其结果分别如图5-4和式（5-6）所示。,,二、频域的有限化和离散化,由上式可知， 与 ，仅相差一个系数 。同理可得,（5-6）,（5-7）,图5-4 连续信号频谱的有限化和离散化,,二、频域的有限化和离散化,有了式（
5、5-6）和式（5-7），就可将对连续信号的谱分析用的谱分析来逼近，从而采用FFT算法。同时需要说明的是，对某一信号分析时，由于关心的是信号的结构成分，所以只需确定信号中频率的相对量即可，因此频谱计算可以直接采用DFT，式（5-6）就是对非周期连续信号进行数字谱分析的基本原理。,,三、误差产生原因及解决办法,对连续非周期信号的数字谱分析实质上是用有限长抽样序列的DFT（离散谱）来近似无限长连续信号的频谱（连续谱），其结果必然会产生误差，主要的误差包括：栅栏效应、混叠效应和频谱泄漏三种。,,三、误差产生原因及解决办法,（一）栅栏效应 非周期信号具有连续谱，但用DFT来计算非周期信号的频谱时，只能观
6、察到有限个（N个）离散频谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通过栅栏观察景物一样，一部分景物被阻挡了，这种现象称为栅栏效应。将能够感受到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，一般用表示。频谱分辨率反映了谱分析算法能将信号中两个靠得很近的谱保持分开的能力。若时域抽样周期为，抽样点数为N，则有,,三、误差产生原因及解决办法,NT实际上就是信号在时域上的截断长度 ，分辨率 与 成反比。栅栏效应是由于频域的离散化引起的，使得在频谱抽样间隔之间的频谱无法反映出来，因此是不可避免的。为了改善栅栏效应，提高频率分辨率，应当增加信号的有效数据长度 或N，也可以采用频谱细化技术，使谱线变密，从而看到原来看不到的
7、“频谱景象”。,（5-8）,,三、误差产生原因及解决办法,（二）混叠效应 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频率 不够高时，采样信号相对原信号就会产生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样频率，设法满足采样定理，保证 ，其中 是原信号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则在 时间内的采样次N必须满足,（5-9）,,三、误差产生原因及解决办法,（三）频谱泄漏 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信号乘相应的信号，如图5-5所示。,图5-5 用矩形窗截断信号
8、,,三、误差产生原因及解决办法,由图5-5得， ，由频域卷积定理有，信号被截断后的频谱为,而原信号 的频谱是,显然， 和 是不同的。,,三、误差产生原因及解决办法,例如，设 ，有,画成频谱图，如图5-6所示。,,三、误差产生原因及解决办法,图5-6 频谱泄漏现象,,三、误差产生原因及解决办法,余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变成了以 为中心的sinc形状的连续谱，相当于频谱从 处“泄漏”到其他频率处，也就是说，原来一个周期内只有一个频率上有非零值，而现在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏现象。 复杂的信号，造成复杂的“泄漏”，他们互相叠加，结果使信号难以分辨。频谱泄漏是由时域信号
9、的截断引起的，减小频谱泄漏的方法一般有两种。 1）增加截断长度。 2）改变窗口形状。,,四、周期信号的数字谱分析,对于周期连续信号 ，若其采样序列为 ，则由DFS与DFT的关系，周期连续信号 的频谱可由下式近似计算,注意上式中的 与推导DFS时的处理方法不同。同理可得,上式中的 是 的主值序列。,（5-10）,（5-11）,,四、周期信号的数字谱分析,连续周期信号是非时限信号，若要用FFT作数字谱分析，必须在时域进行有限化（截断）和离散化（抽样）处理。对于一个带限（频谱为有限区间）的周期信号，若抽样频率满足抽样条件，并且作整周期截断，不会产生频谱的混叠。,,五、谱分析时DFT参数的选择,应用D
10、FT(或FFT)进行信号的频谱分析时，要根据给定的要求，确定DFT的参数。一般情况下，已知（或先估计）：信号的最高频率 、频谱分辨率 、抽样时能够达到的最高抽样频率 。需要确定的参数通常包括：截取的信号长度（数据长度） 、抽样频率 （或采样间隔 ）、点数N及选择什么样的窗口函数等。,,五、谱分析时DFT参数的选择,选择参数的总原则是： 尽可能减少混叠、频谱泄漏和栅栏效应等项误差，保证信号处理的精度和可靠性。在实际分析中，根据这个原则，通常采用以下的基本步骤来选定相应的DFT参数。,,五、谱分析时DFT参数的选择,1）估计待分析信号中频率范围和频率上限 。 2）选定抽样频率 。 3）根据分析精度
11、，确定数据有效长度 。 4）确定点数N。 5）选窗口。,,六、频谱细化技术,简单的频谱细化技术之一 加零法:即在原有N点有限长序列后面，人为地增加零点，使总的序列长为L(LN)，然后进行谱分析。 注意:补零不能提高频率分辨率。,,六、频谱细化技术,补零的好处： 1）可使数据N为2的整数次幂，以便于使用FFT。 2）补零起到对DFT的 做插值的作用，一方面克服“栅栏”效应，使谱的外观得到平滑；另一方面，由于数据截断的过短，频谱泄漏将严重影响对原频谱的辨认，甚至可能在频谱中出现一些难以确定的峰值，而插值可以在一定程度上克服这一现象。,,六、频谱细化技术,另一种频谱细化技术是 ZoomFFT法:或称
12、选带傅里叶分析法（Band Select Fourier Analysis），以下简称ZFFT法。它是在频率分析范围内任何感兴趣的频率点附近，选择一个窄的频带，以高分辨率集中分析这一窄带，从而获得这一段频谱的精细结构。 如图5-7，ZFFT法的原理及基本步骤简述如下：,,六、频谱细化技术,图5-7 ZFFT法的基本步骤,,六、频谱细化技术,步骤： 1）对被分析信号 ，按 进行采样，采样点数为 ，则可获得分辨率为 的频谱 ，如图5-7a、b所示。 2）选择感兴趣的中心频率 及带宽B。 3）对频谱 作数字频移处理，得频移 后的信号频谱 ，如图5-7c所示。 4）对 作数字低通滤波，得带宽为 的窄带
13、频谱 ，如图5-7d所示。,,六、频谱细化技术,5）对 进行傅里叶反变换（IDFT），得窄带信号 。 6）对 进行重新采样，设采样频率 ，采样点数为 ，得 ，如图5-7e所示。则该信号的傅里叶变换结果如图5-7f所示。 7）对重新采样序列 作FFT，可获得细化频谱 ，如图5-7g所示。细化后的频率分辨率为 。当 时， ，表明分辨率提高K倍。,,第二节 用FFT计算线卷积和相关运算,本节将讨论两有限长序列的圆卷积与线卷积的等价条件，从而将圆卷积的快速算法应用于线性卷积和相关的快速算法中。,,主要内容,,一、圆卷积的计算方法,两个长度均为 （如长度不等，将短序列补零至等长）的有限长序列 、 ，其圆卷积 定义为,或,(5-13),(5-14),其主要计算方法有下面几种。,,一、圆卷积的计算方法,1公式法（解析法） 直接利用圆卷积的上述定义式来求解，如下例所述。 例5-1 设 ， ，计算5点长圆卷积 。 解： 为4点长序列，在其尾部补零使其成为5点长序列 ，然后进行圆卷积。 根据卷积定义式，5点长序列的圆卷积为,,一、圆卷积的计算方法,则 时,则 时,
