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1、第3章 点、直线、平面的投影,3.1 点的投影,3.2 直线的投影,3.3 平面的投影,3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置,3.1 点的投影,3.1.1 点在三面体系中的投影 3.1.2 特殊位置点的投影 3.1.3 两点的相对位置和重影点,3.1.1 点在三面体系中的投影,1符号规定,空间点：用大写字母A、B、C.表示 投影：用小写字母 水平投影 a 、 b 、 c 正面投影 a、 b、 c 侧面投影 a、 b 、 c等,(1) 建立三面投影体系 V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面,2点的投影特性, aaOX轴 aaOZ轴 aax = aaz = y =A到V面的距离
2、 aax= aay = z =A到H面的距离 aay = aaz = x =A到W面的距离,a,a,a,V,H,W,【例3-1 】已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,a,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45斜线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,a,图3-2 由点的两个投影求第三投影,a) 解法一 b) 解法二,X,O,X,O,(1) 空间点可用三个坐标表示，如 A点坐标 （XA，YA，ZA）。 X：反映点到W面距离 Y：反映点到V面距离 Z：反映点到H面距离 (2) 一个投影点反映了两个坐标值，如投影 a，其坐标 XA ， YA ； 结论：若点的两个
3、投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。,3点的坐标与投影的关系,W,【例3-2 】 已知点（15，5，10），作出点的三面投影和直观图。,a,a,a“,a,图3-4 由点的坐标求作点的投影图和轴测图,a) 投影图,b) 直观图,O,由图3-5可知: (1) 三个坐标值中有一个坐标为零时，则该点必定在投影面上，如A、B点。 (2) 三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上，如C点。,3.1.2 特殊位置点的投影,图3-5 特殊位置点的投影,两点的相对位置指两点在空间 的上下、前后、左右位置关系。,判断方法 ：, x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z
4、坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,3.1.3 两点的相对位置和重影点,1两点的相对位置,图3-6 两点相对位置,O,【例3-3】已知点A的三面投影a、a、a，并知点B在点A的左方32mm，在点A上方25mm，在点A前方20mm，求作点B的三面投影b、b、b 。,a,b,b,b“,图3-7 利用相对坐标作图,X,O,Z,YH,YW,2重影点,位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，所以叫做重影点（重影点必须有两个坐标值相同） 。,图3-8 重影点的投影,(b),被挡住的投影加( ),3.2 直线的投影,3.2.
5、1 直线的投影 3.2.2 各种位置直线的投影特性 3.2.3 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角 3.2.4 点与直线、直线与直线的相对位置 3.2.5 直角投影定理,3.2.1 直线的投影,一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影，如图3-9所示。,图3-9 直线的投影,直线与投影面的相对位置情况：,3.2.2 各种位置直线的投影特性,与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线 。,1投影面平行线,投影特性: 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角
6、的真实大小。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,图3-10 投影面的平行线,投影特性: 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,2投影面垂直线,垂直于某一个投影面的直线。,图3-11 投影面的垂直线,对三个投影面都倾斜的直线。 直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。空间直线与投影面H、V、W之间的倾角分别用、表示，如图3-12所示。,水平投影 a b = ABcos,3一般位置直线,图3-12 一般位置直线,侧面投影 ab=ABcos,正面投影 ab=ABcos,3.2.3 一般位置直线实长及其对投影面的倾角,一般位置直线段在各投影面
7、上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角。在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的作图方法有直角三角形法。,a,Y,Z,V,A,b,B,H,b,O,X,a,a,a,X,b,b,a,a,X,b,b,图3-13 用三角形法求一般位置直线的实长和倾角,O,O,一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，如图3-14所示。,图3-14 直角三角形的三种三角形,30,【例3-4】已知直线AB对H面的倾角为30，试求AB的正面投影。,X,O,a,a,b,b,b1,图3-15 由线段的倾角
8、求直线的投影,3.2.4 点与直线、直线与直线的相对位置,投影特性： 直线上点的投影必在该直线同面投影上； 同直线上两线段长度比等于其投影长度比。,1点与直线的相对位置,图3-16 直线上点的投影,AK : KB = ak : kb = ak : kb = ak : kb,a,b,a,b,k,b,a,k,【例3-5】在AB上求作点K，使AK:KB=1:2。,2,1,k,图3-17 求作直线上K点的投影,O,X,2直线与直线的相对位置,空间两直线的相对位置可以分为三种：平行、相交、交叉。,（1）两直线平行,空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行； 反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则
9、两直线在空间也一定相互平行。,图3-18 平行两直线,AB、CD为侧平线，虽然abcd，abcd，但ab不平行于cd，故直线AB不平行于直线CD。,若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。,图3-19 判断两直线平行,当两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律。,（2）两直线相交,图3-20 相交两直线,【例3-6】判断直线AB与CD是否相交（图3-18a）。,分析：由于AB是一条侧平线，所以根据所给的两组同名投影还不能确定两条直线是否相交，可用两种方法判
10、断 求出侧面投影。如图3-18b所示，显然两直线的侧面投影不相交，所以AB与CD两直线不是相交直线。 利用点分线段成定比的方法判断。很明显，akkbakkb，所以K不在直线AB上，因此点K不是两直线的共有点，故AB与CD不相交。,a) b),图3-18 判断两直线是否相交图,在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性，如图3-22所示。,（3）两直线交叉,图3-22 交叉两直线,3.2.5 直角投影定理,空间两直线垂直相交，如果其中一条直线平行于某一投影面，则此两直线在该投影面上的投影互相垂直，反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中
11、一条是该投影面的平行线，则两直线在空间互相垂直。,如图3-23所示。 已知ABBC，ABH面，BC倾斜于H面。 AB H面，BbH面，ABBb. 又ABBC， AB 垂直于BC和Bb所决定的平面BCcb。 又abAB， ab 平面BCcb，则有abbc，即abc为直角。,图3-23 直角的投影,【例3-7】求点A到水平线BC的距离AK及其投影。,分析：点A到BC的距离AKBC，因为BC为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。,c,a,b,c,a,b,X,O,图3-24 求点到直线的投影,3.3 平面的投影,3.3.1 平面的投影表示法 3.3.2 各种位置平面的投影特性 3.3.3 平面上
12、的点和直线,3.3.1 平面的投影表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两相交直线,两平行直线,平面图形,图3-25 平面表示法,平面的表示方法如图3-25所示。,3.3.2 各种位置平面的投影特性,平面与投影面的相对位置情况：,投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面对另两个投影面的倾角。 平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形。,1投影面垂直面,垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。,铅垂面 正垂面 侧垂面,图3-26 投影面的垂直面,投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映实形。 平面在另两个投影面上的投影均
13、积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。,2投影面平行面,平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。,水平面 正平面 侧平面,图3-27 投影面的平行面,3一般位置平面,一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。,图3-28 一般位置平面,投影特性： 在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形。,分析： 铅垂面的水平投影积聚成一条倾斜直线，且与X轴的夹角为角，据此可作图。,【例3-8】过点A（a，a）作一铅垂面，并使其与V面的倾角为=30 。,作图： 过点A的水平投影a作与X轴成30夹角的线段ab，在线段ab上任选一点c，即得铅垂面的水平投影。过点A的正面投影a作ab、ac，则
14、abc和abc即为所求铅垂面。,c,b,a,c,a,b,图3-29 求作铅垂面,X,O,【例3-9】过直线AB作一正垂面。,分析：正垂面的正面投影积聚成一条倾斜直线，因此过AB所作的正垂面的投影一定与 ab重合，水平投影可任意作一平面图形即可。,c,图3-30 求作正垂面,注意：若无条件限制，过直线AB可作无数个平面；若过AB作垂直面，可作正垂面，也可作铅垂面；但是由于AB是一般位置直线，所以过AB不可能作出水平面或正平面。,3.3.3 平面上的点和直线,点和直线在平面上的几何投影条件 ： 若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上。 一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面
