Maple材料力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第六章 扭 转

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1、,第6章 扭转,6.1 扭矩 6.2 圆轴扭转横截面上的切应力 6.3 圆轴扭转强度条件 6.4 圆轴扭转刚度条件 6.5非圆截面杆的扭转 6.6薄壁杆的扭转 6.7密圈螺旋弹簧 6.8例题编程,6.1 扭矩 以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形（图6-1），称为扭转。横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角。 凡是以扭转变形为主要变形的直杆，称为轴。,图6-1扭转轴,6.1.1外力偶矩的计算,功率 的单位为 ，力偶矩 与转速 的常用单位分别为 与,6.1.2扭矩 1扭矩的符号规定,扭矩用 表示。规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，“+”。

2、反之亦然。,2截面法 用截面假想地把轴分成两部分，以显示并确定扭矩的方法称为截面法。四个步骤： 截 欲求某一截面上的扭矩时，就沿该截面假想地把轴分成两部分。 取 原则上取受力简单的部分作为研究对象，并弃去另一部分。 代 用作用于截面上的规定正向扭矩 ，代替弃去部分对取出部分的作用。 平 建立取出部分的平衡方程 ，确定扭矩。,图6-2扭矩图,6.1.3扭矩图 表示扭矩沿杆件轴线变化情况的图线，称为扭矩图。 画轴力图时应注意： 扭矩图画在原图的下面，上下对齐，并标出坐标轴 须标出扭矩 的正负号，用小圆圈住。 要标出扭矩的区域用细竖线表示。 要标出扭矩的单位。 要标出扭矩突变处的值。,6.2 圆轴扭

3、转横截面上的切应力 6.2.1平面假设,假设：变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且，半径仍为直线。概言之，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。此假设称为圆轴扭转平面假设。,图6-3等直圆杆扭转时的变形,6.2.2扭转切应力的一般公式,1变形几何关系,根据平面假设，,图6-4圆杆横截面和纵截面上的切应力分布,(a),当 时，由剪切郑玄胡克定律可知，,由(a)代入(b)，得横截面上距圆心 处的切应力,2物理关系,(b),而其方向则垂直于该点处的半径（图6-4b）。 上式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化，实心与空心圆轴的扭转切应力分布分别如图6-5

4、a与b所示。,图6-5扭转切应力分布 图6-6静力关系,(c),3静力关系 如图6-6所示，在距圆心 处的微面积 上，作用有微剪力 ，它对圆心 的力矩为,在整个横截面上所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即,将式(c)代入(d)式，得,上式中的积分代表截面的极惯性矩，,将式(f)代入(e)式，得,此即圆轴扭转变形的基本公式。,(d),(e),(f),(6-2),将式(6-2)代入式(c)，得,此即圆轴扭转切应力的一般公式。,(6-3),6.2.3最大扭转切应力,(g),令,于是，圆轴扭转的最大切应力为,(6-4),(6-5),时，,对于直径为 的圆截面轴，其抗扭截面系数为,对于内径为 、外径为 的

5、空心圆截面，其抗截面系数则为,式中， 代表内、外径的比值。,(6-6),(6-7),6.2.4薄壁圆筒的扭转切应力,图6-7薄壁圆筒的扭转切应力,由于管壁薄，可以认为扭转切应力沿壁厚均匀分布(图6-7),式中： 代表圆管的平均半径， 代表壁厚。 。,6.3 圆轴扭转强度条件 6.3.1扭转失效与扭转极限应力,图6-8扭转试验,对于受扭轴，失效的标志仍为屈服或断裂。试样扭转屈服时横截面上的最大切应力，称为扭转屈服极限 。 试样扭转断裂时横截面上的最大切应力称为扭转强度极限 。 扭转屈服极限与强度极限，统称为扭转极限应力，并用 表示,6.3.2轴的强度条件 将材料的扭转极限应力 除以安全因数 ，得

6、扭转许用切应力为,(6-10) 因此，为保证轴工作时不致因强度不够而破坏，最大扭转切应力 不得超过扭转许用切应力 ，即要求,理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与许用应力 之间存在下述关系： 对于塑性材料， 对于脆性材料，,式中， 代表许用拉应力。,6.3.3圆轴合理截面与减缓应力集中,为了合理利用材料，宜将材料放置在远离圆心的部位，即作成空心的（图6-7）。显然，平均半径 愈大、壁厚 愈小，即比值 愈大，切应力分布愈均匀，材料的利用率愈高。因此，一些大型轴或对于减轻重量有较高要求的轴，通常均作成空心的。但也应注意到，如果比值 过大，管在受扭时将产生皱褶现象（即局部失稳），从而降低

7、其抗扭能力 。,尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。,6.4 圆轴扭转变形与刚度条件 6.4.1圆轴扭转变形,由式(6-2),由此可见，对于长为 、扭矩 为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的相对转角即扭转角为,乘积 称为圆轴截面的扭转刚度，或简称为扭转刚度。,对于扭矩、横截面面积或切变模量沿杆同逐段变化的圆截面轴，其扭转变形为,式中： , , 与 分别代表杆段 的扭矩、长度、切变模量与极惯性矩 ; 为杆件的总段数。,长为 、扭矩 为常数的等截面薄壁圆管的扭转变形为,6.4.2圆轴扭转刚度条件,单位长度内的扭转角,圆轴扭转的刚度条件为,式中， 代表单位长度许用扭转角。,6.4.3圆轴扭转

8、的应变能 在切应力小于比例极限的范围内，圆轴扭转的应变能为,6.4.4 简单扭转超静定轴 前面所研究的轴，其支反力偶矩与扭矩均可由平衡条件确定，即均属于静定轴。然而，当轴的未知力偶矩（支反力偶矩与扭矩）的数目，多于有效平衡方程的数目时，则成为超静定轴。 求解扭转超静不定问题，除应利用平衡方程外，还需建立补充方程。即需要同时考虑轴的变形协调条件，物理关系和平衡方程。,6.5 非圆截面轴的扭转 圆截面轴是最常见的受扭杆件，在工程实际中，有时也会碰到一些非圆截面轴，例如矩形与椭圆形截面轴等。 6.5.1自由扭转与限制扭转,试验与分析表明，非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲（图6-9）。如

9、果横截面的翘曲受到限制，例如在轴的固定端处，横截面的翘曲受到固定端的限制，这时，横截面上将不仅存在切应力，而且还存在正应力。反之，如果轴扭转时各横截面均可自由翘曲，则横截面上将只有切应力而无正应力。横截面的翘曲受到限制的扭转称为限制扭转；反之，则属于自由扭转。,图6-9非圆截面杆的自由扭转 图6-10矩形截面轴扭转切应力分布,非圆截面轴自由扭转时，可按下列公式计算最大扭转切应力与扭转变形：,(6-23),式中的 及 的量纲，分别与 及 相同。,(6-24),6.5.2矩形截面轴扭转,表6-1矩形截面扭转的有关系数 , 和,根据弹性理论的研究结果，矩形截面轴的扭转切应力 为,式中，与 分别代表矩

10、形截面长边与短边长度，系数 , , 与比值 有关，其值见表6-1。从表6-1中可以看出，当 时，与 均接近于 。所以，对于长为 、宽为 的狭长矩形截面轴（图6-11），其 和 分别为,(6-25),矩形截面的 和 分别为,(6-26),狭长矩形截面轴的扭转切应力分布如图6-11所示。,(6-27),图6-11狭长矩形截面轴的扭转切应力分布 图6-12椭圆截面轴的扭转,6.5.3椭圆截面轴的扭转 椭圆截面最大切应力发生在椭圆短轴的端部，其 和 分别为,(6-28),6.6薄壁杆扭转 为减轻重量，在工程结构中，特别是航空与航天结构中，广泛采用薄壁杆件。 薄壁杆横截面的壁厚平分线，称为截面中心线。

11、截面中心线为封闭曲线的薄壁杆称为闭口薄壁杆； 截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆，称为开口薄壁杆。 薄壁杆件自由扭转时，仍可按采用（6-23）式和（6-24）式计算最大扭转切应力与扭转变形。,6.6.1闭口薄壁杆的扭转 如图6-13所示的闭口薄壁杆受到扭矩 作用时，横截面任一点的切应力 与该处壁厚 的乘积为一常数,可见，在杆壁最薄处扭转切应力最大，其 和用 下式计算,式中 为截面中心线所包围的面积， 为截面中心线的长度。,图6-13闭口薄壁杆的扭转,(6-29),(6-30),与狭长矩形截面杆的扭转切应力相似(图6-11b)。 一般开口薄壁杆件的扭转切应力分布如图6-14a所示，切应力沿截面周边形

12、成“环流”。,6.6.2开口薄壁杆扭转,开口薄壁杆的抗扭性能很差，截面产生明显翘曲。,分析表明：对于等厚度的开口薄壁杆，其扭转变形与扭转应力仍可分别按狭长矩形截面进行计算，只需以截面中心线长度，代替式中的 即可。至于非等厚度的开口薄壁杆，则可将其看作是由若干狭长矩形截面杆组合而成，其 和 为,式中 与 分别代表狭长矩形截面 的长度与厚度。,(6-33),图6-14开口薄壁杆的扭转 图6-15密圈螺旋弹簧受力及变形分析,6.7 密圈螺旋弹簧 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角很小（例如 小于 ）的弹簧。设弹簧的平均直为 ，弹簧丝的直径为 , 为有效弹簧圈数。,弹簧的最大切应力发生在截面内侧点 处，其

13、值为,考虑簧丝曲率的影响，一般采用下面的经验公式来确定,(a),(b),其中修正系数 ，称为曲度系数。,其中 称为弹簧指数。在线弹性范围（ ）内忽略剪切变形影响，由 及式 (6-21)，根据功能守恒,(6-36),弹簧的变形,(6-37),式中,称为弹簧刚度。可见， 与材料常数 和 几何常数 , 和 有关。,6.8 例题编程 例6-1 转动轴如图6-16a所示。主动轮 输入功率 ，从动轮 , , , 输出功率分别为 ， 轴的转速为 。试画出轴的扭矩图。,已知：,求： 作轴的扭矩图。 解：建模 绘扭矩图。, 计算作用于各轮上的外力偶矩。 用截面法，列平衡方程 计算各段内的扭矩。,把 ， ， 的方

14、向假设为 “正” 方向。 按照扭矩的符号规定， 与图中假设方向相反 的扭矩是负的。,扭矩图。,图6-16例6-1, Maple程序 restart: #清零。 MeA:=9549*PA/n: #轮 的外力偶矩。, MeB:=9549*PB/n: #轮 的外力偶矩。, MeC:=9549*PC/n: #轮 的外力偶矩, MeD:=9549*PD/n: #轮 的外力偶矩。, eq1:=T1+MeB=0: # 左段， 。, eq2:=T2+MeB+MeC=0: # 左段， 。, eq3:=T3-MeD=0: # 右段， 。, SOL1:=solve(eq1,eq2,eq3,T1,T2,T3): #解

15、方程组，求扭矩。 T:=x-piecewise(x T:=normal(T(x): #有理函数的标准化。 T:=subs(SOL1,T): #代入各段扭矩。 PA:=36: PB:=11: PC:=11: PD:=14: #已知条件。 n:=300: a:=1: b:=1: c:=1: #已知条件。 plot(T(x),x=0(a+b+c),tickmarks=0,4); #绘扭矩图。,答：,，扭矩图如图6-16e所示。,例6-2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 壁厚 ，材料为45钢。 使用时的最大扭矩为 。 如材料的 ，试校核轴的扭转 强度。如把传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定 其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。,已知： ， ， ， 。,求： ， ， 。,解：（1）建模 根据扭转强度进行截面设计。 校核轴的强