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1、目 录中英文摘要 ()1引言（2）2同步准则和系统模型（2）2.1Lorenz 系统（3）2.2 Liu系统 （4）2.3 系统（5）3Lorenz系统和Liu系统的混沌同步（5）3.1主动控制同步 （5）3.2数值模拟（6）4 Lorenz系统和系统的混沌同步（7）4.1主动控制同步（7）4.2数值模拟 （8）5结论（9）致谢（10）参考文献（11）1. 引言复杂系统的混沌同步已经在许多领域得到了广泛的应用，由于他的重要性，最近十几年对混沌同步进行了深入的研究，在1990年Pecora 和Carroll发表了一篇论文关于混沌同步的概念，这篇文章在研究领域起了重要的影响。许多有效的控制方法，比
2、如：APD方法，反馈设计法，主动控制法，适应性控制法。十九世纪90年代，混沌控制与同步取得突破性进展，1989年胡柏勒发表了控制混沌的第一篇文章，许多科学家对混沌同步产生了兴趣，由于他在许多科学领域潜在的应用。为了达到混沌同步，1990年奥特、格锐柏基和约克提出的控制混沌的思想产生广泛响应,接着迪托和罗意等完成了控制混沌实验，人们还提出了各种控制混沌的方法，并在光学、等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证。 本文采用主动控制的方法,实现两个不同系统间的混沌同步。根据Lyapunov稳定性理论设计主动控制函数实现混沌同步。实现了Lorenz 系统和L
3、iu系统的混沌同步，还实现了Lorenz 系统和系统的混沌同步。数值模拟验证了方法的有效性。2问题描述和系统模型定义:两个非线性混沌系统 (1)式中，为的可微函数。系统（1）中的第一式为驱动系统，第二式为响应系统，为控制输入。令误差,我们的目标就是设计控制器使得从不同的初始值出发的系统满足=0,从而使响应系统和驱动系统达到同步。2.1Lorenz 系统：（6）其中是实常数，当时，此系统是混沌的,其混沌吸引子如图(1)所示。 图(1) 混沌Lorenz系统的吸引子2.2 Liu系统（7）其中是实常数，当时，此系统是混沌的,其混沌吸引子如图(2)所示。图(2) 混沌Liu系统的吸引子2.3系统（8
4、）其中是实常数，当时，此系统是混沌的, 其混沌吸引子如图(3)所示。图(3) 混沌 Rssler系统的吸引子3Lorenz系统和Liu系统的混沌同步3.1.主动控制同步通过主动控制实现Lorenz系统和Liu系统的混沌同步，以系统（6）为驱动系统，受控的响应系统为：（9）在系统（9）中引入3个控制函数。为了确定控制函数，使系统（6）和（9）同步，由方程（9）减去方程（6）可得误差系统。记误差信号，得到（10）选择控制函数如下:（11）将方程（11）代入方程（10），得（12）这里是关于误差变量函数的控制输入,即。其中是33的实常数矩阵，关于的选择有很多种，不妨取即则方程（12）变为误差系统（1
5、2）的特征值为。由常微分方程的稳定性理论可得，当状态误差均收敛于零，即0。 从而实现了Lorenz系统和Liu系统的混沌同步。3.2数值模拟选取Lorenz系统的参数为,此时Lorenz系统为混沌的。Liu系统的参数为，此时Liu系统为混沌的。驱动系统和响应系统的初始值分别为, ，用Mathematica 软件NDSolve、Plot命令，作出误差与时间图。图(4)显示了Lorenz系统和Liu系统（6）和（9）通过主动控制的同步结果。图（4）在控制器(11)式作用下的混沌Lorenz系统和Liu系统的同步误差曲线4Lorenz系统和系统的混沌同步4.1.主动控制同步通过主动控制实现Loren
6、z系统和系统在不同初始条件下的同步，以系统（6）为驱动系统，受控的响应系统为 （13）其中是实常数，当时，此系统是混沌的。在系统（13）中引入3个控制函数。为了确定控制函数，使系统（6）和（13）同步，由方程（13）减去方程（6）可得误差系统。记误差信号，得到 (14)选择控制函数如下:(15)将方程（15）代入方程（14），得(16)这里是关于误差变量函数的控制输入信号,即。其中是33的实常数矩阵，关于的选择有很多种，不妨取则方程（16）变为即误差系统（16）的特征值为。由常微分方程的稳定性理论可得，当状态误差均收敛于零，即0。 从而实现了Lorenz系统和系统的混沌同步。4.2数值模拟选取
7、Lorenz系统的参数为,此时Lorenz系统为混沌的。系统的参数为，此时系统是混沌的。驱动系统和响应系统的初始值分别为：, ，用Mathematica 软件NDSolve、Plot命令，作出误差与时间图。图(5)显示了Lorenz系统和系统（6）和（13）通过主动控制的同步结果。 图（5）在控制器(15)式作用下的混沌Lorenz系统和系统的同步误差曲线5结论本文利用主动控制，不仅实现了Lorenz 系统和Liu系统的混沌同步，还实现了Lorenz 系统和系统的混沌同步。主动控制方法简单，实现同步时间短。通过选取适当的参数以及初始值进行数值模拟，进一步验证了本文的方法是可行的、有效的。致 谢
8、在我论文的选题、开题到成文的全过程，得到导师蔡建平教授的悉心指导，特此感谢.参考文献1 Pecora LM, Carroll TL. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, 1990, 64: 821.2 Chen S, Hu J, Wang C, L J. Adaptive synchronization of uncertain Rssler hyperchaotic system based on parameter identification. Phys Lett A 2004, 50: 321.3 T
9、an XH, Zhang TY, Yang YR. Synchronizing chaotic systems using backstepping design. Chaos, Solitons & Fractals 2003,16:3745.4 Yassen MT. Controlling chaos and synchronization for new chaotic system using linear feedback control. Chaos, Solitons &Fractals 2005,26:913.5 Chen M, Han Z. Controlling and s
10、ynchronizing chaotic Genesio system via nonlinear feedback control. Chaos, Solitons &Fractals 2003,17:709.6 Liao T-L, Lin S-H. Adaptive control and synchronization of Lorenz systems. J Franklin Inst 1999,336:925.7 Li C, Liao X, Zhang R. A unified approach for impulsive lag synchronization of chaotic systems with time delay. Chaos, Solitons& Fractals 2005,25:1177.8 Bai EW, Lonngren KE. Synchronization of two Lorenz systems using active control. Chaos, Solitons & Fractals 1997,8:51.
