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1、Laplace变换和Fourier变换Laplace变换是将时域信号变换到复频域，与Fourier变换的频域有所区别。FTf(t)=从负无穷到正无穷对f(t)exp(-jwt)积分LTf(t)=从零到正无穷对f(t)exp(-st)积分(由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始)具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数;而在laplace变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数:s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的
2、函数(比如exp(at),a0)做域变换。Laplace变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具(将微积分运算转化为乘除运算)。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析(零极点图)依然常用。Fourier变换则随着FFT算法(快速傅立叶变换)的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出，表示式如下:ZTf(n)=从n为负无穷到正无穷对f(n)Z(-n)求和其所变换的域称之为Z域。傅里叶变换属于谐波分析。*傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正
3、变换非常类似;*正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;*卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;*离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT).基本性质线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数fleft(xright)和gleft(xright)的傅里叶变换mathcalf和mathcalg都存在，和
4、为任意常系数，则mathcalalphaf+betag=alphamathcalf+betamathcalg;傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符;频移性质若函数fleft(xright)存在傅里叶变换，则对任意实数0，函数f(x)eiomega_x也存在傅里叶变换，且有mathcalf(x)eiomega_x=F(omega+omega_0)。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果(复函数)，e为自然对数的底，i为虚数单位sqrt;微分关系若函数fleft(xright)当|x|rightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f(x)的傅里叶变
5、换存在，则有mathcalf(x)=-iomegamathcalf(x)，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子?i。更一般地，若f(pminfty)=f(pminfty)=ldots=f(k-1)(pminfty)=0，且mathcalf(k)(x)存在，则mathcalf(k)(x)=(-iomega)mathcalf，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子(?i)k。卷积特性若函数fleft(xright)及gleft(xright)都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_-infty+inftyf(x-xi)g(xi)dxi的傅
6、里叶变换存在，且mathcalf*g=mathcalfcdotmathcalg。卷积性质的逆形式为mathcalF(omega)G(omega)=mathcalF(omega)*mathcalG(omega)，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。Parseval定理若函数fleft(xright)可积且平方可积，则int_-infty+inftyf2(x)dx=frac2piint_-infty+infty|F(omega)|domega。其中F()是f(x)的傅里叶变换。傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换主条目:连续傅立叶变换一般情况下,若傅立叶变换一词的前面未加任
7、何限定语，则指的是连续傅里叶变换。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。f(t)=mathcalF(omega)=fracsqrt2piintlimits_-inftyinftyF(omega)eiomegat,domega.上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F()的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F()表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F()为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transformpair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分
8、数傅里叶变换(FractionalFourierTransform)。当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosinetransform)或正弦转换(sinetransform).另一个值得注意的性质是,当f(t)为纯实函数时,F(?)=F()*成立.傅里叶级数主条目:傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:f(x)=sum_n=-inftyinftyF_n,e,其中Fn为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成:f(x)=fraca_0+s
9、um_n=1inftylefta_ncos(nx)+b_nsin(nx)right,其中an和bn是实频率分量的振幅。离散时间傅里叶变换主条目:离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换主条目:离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式:x_n=frac1sum_k=0X_keifrac2pi
10、knqquadn=0,dots,N-1其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n2)，而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为mathcal(nlogn)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中,一个变换从一个群变换到它的对偶群(dualgroup)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性(英文版
11、)中的介绍。时频分析变换主条目:时频分析变换小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员.容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.变换时间频率连续傅里叶变换连续,非周期性连续,非周期性傅里叶级数连续,周期性离散,非周期性离散时间傅里叶变换离散,非周期性连续,周期性离散傅里叶变换离散,周期性离散,周期性傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。从现代数学的眼光来看，
12、傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。分析二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，分析二字，实际就是条分缕析而已。它通过对函数的条分缕析来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，分析主义和还原主义，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域
13、，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:1.傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2.傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3.正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内
14、,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT).正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。拉普拉斯变换拉普拉斯变换(英文:LaplaceTransform)，是工程数学中常用的一种积分变换。如果定义:f(t),是一个关于t,的函数，使得当t0,时候，f(t)=0,;s,是
15、一个复变量;mathcal是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0inftye,dt;F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出:F(s),=mathcalleft=int_inftyf(t),e,dt拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号mathcal,表示。拉普拉斯逆变换的公式是:对于所有的t0,;f(t)=mathcalleft=fracint_F(s),e,dsc,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往
