《2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-6双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-6双曲线（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲双曲线最新考纲1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想.知 识 梳 理1双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e
2、，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的认识(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)(2013新课标全国卷改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的
3、渐近线方程为yx.()(5)(2013陕西卷改编)双曲线1的离心率为，则m等于9.()(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提醒双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线2二个防范一是双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，而双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，应注意其区别与联系，如(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)考点一双曲线
4、的定义及应用【例1】 (1)若双曲线1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是()A4 B12 C4或12 D6(2)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析(1)由题意知c4，设双曲线的左焦点为F1(4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|PF2|4，解得|PF1|12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|PF1|4，解得|PF1|4，所以|PF1|4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.(2)由1得a3，b4，c5.|PQ|4b162a.又A
5、(5,0)在线段PQ上，P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案(1)C(2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上【训练1】 (1)(2014大连模拟)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17C1或17 D以上答案均不对(2)已知F是双曲
6、线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B54C7 D9解析(1)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9.答案(1)B(2)D考点二求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲
7、线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.答案(1)1(2)1规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a
8、，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可.【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的
9、标准方程为1.考点三双曲线的几何性质【例3】 (1)(2013湖南卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析(1)因为PF1PF2，PF1F230，所以|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|c.由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以离心率e1.(2)设P
10、F1的中点为M，由|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即yx，即4x3y0.答案(1)1(2)C规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解(2)求曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两
11、渐近线方程0.【训练3】 (1)设点P在双曲线1(a，b0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析(1)由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以4|PF2|PF2|2a，所以|PF2|a，|PF1|a，所以整理得ac，所以，即e，又e1，所以1e.(2)当焦点在x轴上时，即，所以e2，解得e；当焦点在y轴上时，即，所以e2，解得e，即双曲线的离心率为或.答案(1)(2)或1双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，
12、但一定要把握好它们的区别和联系2双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程如果已知渐近线方程为axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法3双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 教你审题8运用双曲线的标准方程及其性质【典例】 如图，F1，F2分别是双曲
13、线C：1(a，b0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是()A.B.C.D.审题一审：求出直线F1B的方程二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y0得M点的坐标四审：由|MF2|F1F2|建立关系式，求出离心率解析依题意，知直线F1B的方程为yxb，联立方程得点Q，联立方程得点P，所以PQ的中点坐标为.所以PQ的垂直平分线方程为y.令y0，得xc，所以c3c.所以a22b22c22a2，即3a22c2.所以e.故选B.答案B反思感悟 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题【自主体验】(2013山东卷)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A.B.C.D.解
