《2014届湖北高考数学（理）一轮复习精编学案：第五章《平面向量》5.3《平面向量的数量积及其应用》（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届湖北高考数学（理）一轮复习精编学案：第五章《平面向量》5.3《平面向量的数量积及其应用》（新人教a版）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3平面向量的数量积及其应用1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)定义已知两个_向量a和b，作a，b，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b(2)范围向量夹角a，b的范围是_，且_b，a(3)当a，b_时，向量a与b共线；当a，b_时，向量a与b垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义_叫做向量a和b
2、的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)向量数量积的运算律ab_(交换律)(ab)c_(分配律)(a)b_a(b)(数乘结合律)(为实数)3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)|ab的充要条件ab|a|b|a1b2a2b10ab的充要条件ab0a1b1a2b
3、20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1a2b2|1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个2设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCabDab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78) B(28，42)C52 D784(2012湖北高考)已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_5已知|a|2，|b
4、|4且a(ab)，则a与b的夹角是_一、平面向量数量积的运算【例1】(1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求，|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|.方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程坐标形式时，运算要准确提醒：向量数量积与实数相关概念的区别：1表示方法的区别数量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.2相关概念及运算的区别(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)
5、若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc,但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立请做演练巩固提升2二、平面向量的夹角【例2】 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若a，b，求ABC的面积方法提炼1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)；(2)数量积大于
6、0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系请做演练巩固提升1三、平面向量的模【例31】 (2012江西高考)设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.【例32】 已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f (x)的最大值和最小值方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，
7、y)，则|a|.请做演练巩固提升4四、平面向量的应用【例41】 已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【例42】 已知向量a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，c(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值； (2)若1，求OAB的面积S.方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数
8、、三角或几何问题请做演练巩固提升3忽视对直角位置的讨论致误【典例】已知平面上三点A，B，C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值错解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)230.k.(2)(2k,3)，(k2，3)(k,1)ABC为直角三角形，0.2k40，解得k2.错因：因和已知，则可得(含k的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分
9、类讨论，求得符合条件的k的值正解：(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行，4(2k)230，解得k.(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1)ABC为直角三角形，则当BAC是直角时，即0，2k40，解得k2；当ABC是直角时，B，即0，k22k30，解得k3或k1；当ACB是直角时，即0，162k0，解得k8.综上得k的取值为2，1,3,8.答题指导：1用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点本题难度不大，属中档题2本题的错误非常典型造成错误的主要原因就是思维定势所致第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成
10、求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去第(2)问，由于思维定势，误认为A一定为直角，从而使解答不完整3考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素1(2012福建高考)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5Dx02(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则()A.B.C.D23在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_4(2012湖北黄冈中学2月高三调研)在以下关于向量的命题中，不正确的是()A若向量a(x，y)，向量b(
11、y，x)，(xy0)，则abB平行四边形ABCD是菱形的充要条件是()()0C点G是ABC的重心，则0DABC中，和的夹角等于180A5已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)非零AOB(2)0，a，b(3)0或180902(1)|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b(2)baacbc(ab)基础自测1B解析：错，向量不能约分；中(ab)2|a|2|b|2cos2不一定与a2b2相等，错2D3A解析：a(bc)(1，3)(4263)(26，78)4
12、(1)(2)解析：(1)由题意可得，2ab(3,1)，故|2ab|，即与2ab同向的单位向量为，即为；(2)由题意可得b3a(2,1)，故(b3a)a2.又|b3a|，|a|1，cosb3a，a.5.解析：a(ab)，a(ab)0，即a2ab0，ab4，cos (是a与b的夹角)，.考点探究突破【例1】 解：(1)如图，向量，的夹角为120，|cos 12055.()，|2()2(|22|2)(25255cos 6025)，|.(2)a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)123018.a2b(3，4)2(2,1)(7，2)，|a2b|.【例2】 解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)与的夹角，ABC
