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1、,第五章 控制系统的稳定性, ,第一节 第二节 第三节 第四节,控制系统稳定性的条件 劳斯胡尔维茨稳定性判据 奈奎斯特稳定判据及其应用 稳定性裕量,稳定性是线性控制 系统中最重要的问题,第一节 控制系统稳定性的条件,一、稳定性的概念,控制系统的稳定性，是指控制系统在,使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后， 控制系统能够以足够的精度逐渐恢复到原 来的状态，则称该控制系统是稳定的，或 具有稳定性的。否则，控制系统是不稳定 的，或不具有稳定性的。,0 ,二、控制系统稳定的条件,t,nt,xit,t=0,xo0 i xo,-,-,G1s,G2s,Xis,X os,t Ns,xot,t,bms bm1s,
2、b1sb0,ans an1s,a1sa0,-,-,G1s,G2s,Xis,X os,Ns,Xos Ns, ,G2s 1G1sG2s bmsm bm1sm1 b1sb0 ansn an1sn1 a1sa0,输入单位脉冲信号，输出为单位脉冲响应，则相当于,n(t) (t) N(s) L(t) 1,1,m m1 n n1,Xos,系统在扰动信号作用下，输出偏离原平衡工作点情形。 N(s) 1,ans an1s,a1sa0,ci,Xos,bmsm bm1sm1b1sb0 n n1,cn (ssn),c2 (ss2),c1 (ss1),n i1 (ssi),t,si,n n i1 (ssi) i1 按照
3、稳定性定义，如果系统稳定，当t 时， lim xot 0 当且只有（i 1,2,n）全部具有负实部 si对应闭环系统传递函数特征根，因此对于线性 定常系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零 输入响应最终衰减到零，这样的系统是稳定的。 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输 入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。,（1）直接或间接得到特征方程的根 （2）确定特征方程根所在的区域 1）代数判据 劳斯胡尔维茨判 据 2）几何判据 奈奎斯特判据,控制系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程式的根全部具有负实部。 或闭环传递函数的极点全部具有负实部,（位于左半s平面）。 判断稳定
4、性的方法：,1）直接求解 2）根轨迹法,第二节 劳斯胡尔维茨稳定性判据,利用闭环特征方程式（即,高次代数方程）的根与系数的 代数关系，由特征方程中已知 的系数，间接判断闭环特征方 程的根是否均具有负实部，从 而判断控制系统的稳定性。,Ds ans an1s,n2,an2s,n1,n,a1sa0 0,一、胡尔维茨稳定性判据 闭环系统特征方程为：,稳定的必要条件： 闭环特征方程中各项系数0 稳定的充分条件： 胡尔维茨n阶行列式中各阶子 行列式 1,2,n 都大于零。,Ds ans an1s,一直计 算到最后。 然后判断各 阶子行列式,的符号，若 全部0,则 系统稳定； 否则，系统 不稳定。,1 a
5、n1 2 an1an2 anan3 3 an1an2an3 anan1an5 an 21an4 anan 23,n2,an2s,n1,n,a1sa0 0,0 0 0 0,0 0 0 a0,a1 a2,0 , 0 0 0,an3 ,an1 ,an7 an6 an5 an4 ,an5 an4 an3 an2,an3 an2 an1 an,1 2 3,an1 an 0 n 0,例5-1 控制系统的特征方程为： 2s4 s3 3s2 5s 10 0 试用胡尔维茨稳定判据判别控制系统的稳定性。 解： （1）由控制系统的特征方程知各项系数为： a4 2,a3 1,a2 3,a1 5,a0 10均为正值 （
6、2）再检查第二个条件，i 0写出胡尔维茨行列式：,10 5 3,3 1 2,4 0,3 0,1 2 1 5,4 2 0 0,1 a3 1 0,0 0 2 10,a1 a2,a3 a4,系统不,稳定 a3a2 a4a1 1325 0,例5-2 单位反馈系统的开环传递函数：,K s(0.1s 1)(0.25s 1),G(s) ,试求使控制系统稳定的K值范围。 解： 控制系统的闭环特征方程： 0.025s3 0.35s2 s K 0 系统特征方程各项系数为：,a3 0.025,a2 0.35,a1 1,a0 K,K 0,a0 a1,a2 a3, a2a1 a3a0 0.3510.025K0,2 ,（
7、2）列写胡尔维茨行列式,故有：K 14 所以保证控制系统稳定的K值范围是： 0 K 14,0.35 K,0,K 1,0 0,0.35 0.025,0,0 0,a0,a2,a0 a1,a2 a3,3,1 2,3,1 2,3 ,Ds ans an1s,稳定的必要条件： 特征方程中各项系数0 稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项0,n2,an2s,n1,n,a1sa0 0,二、劳斯稳定性判据 系统特征方程为：,Ds ans an1s,s,s,s,s,s,s,b1 ,an an2 an4 an6,an1 an3,an5,an7,b2 ,a1a6 a0a7,c1 ,一直计算到最后一行算完为止。,b1
8、a5 a1b3,一列系数符号改变的次数，就为特,n sn1 n2 n3 2 1 0,劳斯阵列如下： b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 然后判断阵列中第一列系数的符号， 征方程在右半s平面的根数。,a1a2 a0a3 a1 a1a4 a0a5 a1 b1a3 a1b2 b1 b1,b3 若全部0,则系统稳定；否则，第 c2 ,n2,an2s,n1,n,a1sa0 0,s,s,例5-3 系统的特征方程为： s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0 试用劳斯稳定判据判断系统是否稳定。 解：（1）由特征方程知： a5 1,a4 6,a3 14,a2 17,a1 10,a0 2,各系数均
9、大于0,（2）列出劳斯表:,2,791 67 6150 791 2,2,17 58 6,6 67 6,14 10,1,4 3,2 s1 0,s s,s5,（3）因为劳斯表中第一列数值 全部为正实数，所以控制系统 是稳定的。,5 9,s,s 11 15,1 174,11,s 15,例5-4 已知控制系统的特征方程为： s5 3s4 2s3 s2 5s 6 0 试判断控制系统的稳定性。 解：（1）由特征方程知：,（2）列出劳斯表: （3）观察第一列数值符号的变 化两次，所以控制系统不稳定 。,5 6,2 1,1 3,5 4,3 2 s 0,a5 1,a4 3,a3 2,a2 1,a1 5,a0 6
10、 s 各系数均大于0 s,劳斯判据的两种特殊情况：,1、某一行第一个元素为零，而其余各 元素不全为零；用一个很小的整数 替代0，继续计算；,例5-5 控制系统的特征方程为：,s4 3s3 s2 3s1 0,试判断控制系统的稳定性。,s 3,s,（2）列出劳斯表:,（3）控制系统有两个正根，所 以控制系统不稳定,1 0,4 3,s s,1,1 1 3,1 3,3 ,s2 1,用一个很小 的正数代替0,4 3 2 a4 1,a3 3,a2 1,a1 3,a0 1 各系数均大于0,2、某一行所有元素均为零；,例5-6 控制系统的特征方程为：,试判断控制系统的稳定性。,s6 2s5 8s4 12s3
11、20s2 16s16 0,表明在 S 平面内存在存在两个大小相等、符号,相反的实根和（或）一对共轭虚根。,S,显然，这些根的数目 一定是偶数。,由该行的上一行元素构成辅助多项式，并求 导，用其系数代替全为零的行。,Xos Gs,Xis,1GsHs,第三节 奈奎斯特稳定判据及其应用,X os,Gs Hs,Xis -,为了保证系统稳定， GsHs 0的 全部根，都必须位于左 半S平面（虽开环传 递函数GsHs的极点可能位于右半 S平面， 但如果闭环传递函数的 所有极点（闭环特 征方程的根）均位于左 半S平面内，则系统 是稳定的）。,1,闭环传递函数： ,面内的零点数和极点数 联系起来的 判据。,乃
12、奎斯特稳定判据正是 一种将,开环频率特性GjHj与闭环 特征多项式1GsHs在右半s平,通常我们画的乃奎斯特 曲线,都是开环频率特性 GjHj。,b0s b1s,Gs,a0s a1s,Xos Gs,Xis,1Gs,bm1sbm N Ks,DKs,DKs NKs NBs,N Ks,DKs NKs,DBs,DKs,一、奈奎斯特稳定判据,X os,Gs,Xis -,m m1 n n1, ,an1san N Ks 1, ,;,;,P 2,P 2,即闭环控制系统稳定的条件是：N ,极点个数为0的条件是：N ,若开环特征多项式DK(s)在右S平面有P个根， 则当从0变化时，若Gj的奈奎斯特曲线逆时 针包围1,j0点N次，则闭环特征多项式DB(s) 中右,注： 系统的开环传递函数有右极点（不稳定）， 控制系统也可能稳定。,二、奈奎斯特稳定判据的应用举例 1、开环传递函数中没有s 0 的极点 例5-7 单位负反馈系统的开环传递函数为：,K Ts 1,G(s) ,式中：T 0.1s ，试用奈奎斯特稳定判据判断K 4和K -4 情况下控制系统的稳定性。 解： 作出 K 4和K -4 时的奈氏图 K 4时不包围（1 ，j0）N 0 开环右极点数P 0 K=4时的情况下控制系统稳定,1 2,
