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1、2012届学员9月份数一测试答案2012届学员9月份数一测试答案2011年09月25日一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设数列与 满足 ，则下列说法正确的是 （ ） (A) 若 发散，则 必发散 (B) 若 无界，则 必有界 (C) 若 有界，则 必为无穷小 (D) 若 为无穷小，则必为无穷小 【答案】D. 【解析】举反例：若取 ，则可排除A；若取 ，则 可为任意数列，可排除C； 取 ，则可排除B；故正确答案为D. (2) 设 为连续函数，且 ，则为 （ ） (A) (B) (C)
2、 (D) 【答案】A. 【解析】 . (3) 函数 在点 处的梯度为 （ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】B. 【解析】因为 于是有 . (4) 微分方程 的通解是 （ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】C. 【解析】特征方程： ，特征根 ，故选项C是正确的. (5) 设 均为 阶矩阵，为 阶单位矩阵，若 ，则为 （ ） (A) . (B) . (C) (D) 【答案】A. 【解析】由 ，知 ，可见与 互为逆矩阵，于是有 ，故 .从而有 ，即 ，而 可逆，故 ，应选A. (6) 已知三阶矩阵 的特征值为 ，则 的正特征值的个数为 （ ） (A) (B) (
3、C) (D) 【答案】C. 【解析】因为 的特征值为 ，则 的特征值为 显然有两个正特征值，故选C. (7) 设随机变量与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则为 （ ） (A) . (B) . (C) (D) . 【答案】B. 【解析】因为与 相互独立，所以 . (8) 若和 满足 ，且 ，则必有 （ ） (A) 与 相互独立 (B) (C) (D) 和 不相关. 【答案】D. 【解析】根据题设有 ， 因此 ，故，与 不相关. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.） (9) 微分方程 满足初始条件 的特解是 . 【答案】 . 【解析】分离变量后积分得
4、通解 ，再由得 ，则特解为 . (10) 曲线 在点 处的切线方程为 . 【答案】 . 【解析】由原方程得 ，将 代入其中得 ，故所求切线方程为 . (11) 幂级数 的收敛域是 . 【答案】 . 【解析】 ，当时 发散，当时 收敛，故收敛域为 . (12) 设是 的外侧，则 . 【答案】 . 【解析】由高斯公式知 . (13) 已知三阶矩阵 有三个线性无关的特征向量，则参数 . 【答案】 . 【解析】 ，由 有三个线性无关的特征向量知对于， 有两个线性无关的特征向量，所以 . ，故 . (14) 设随机变量 的概率密度为若 使得 ，则 的取值范围是 . 【答案】 . 【解析】由 ，易知 当
5、时，； 当 时，； 当 时，； 故要使得 ，则 的取值范围是 . 三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分9分) 求极限 . 【解析】方法1：原式 （3分） （6分） . （9分） 方法2：原式 （3分） （6分） . （9分） (16) (本题满分10分) 设在 内连续，且 .证明： (I) 若 为偶函数，则 也是偶函数； (II) 若 单调递减，则 单调递增. 【解析】(I)因为 ，所以 （2分） ， （3分） 可见， 是偶函数. (II) （5分） ， （7分） 因为 单调递减，所以 当 时，
6、当 时， （9分） 即 恒成立，所以 单调递增. （10分） (17) (本题满分11分) 当 时，求 的最大值与最小值. 【解析】设， （1分） 由得 ， （3分） 解得 . （5分） 而 与上述六点的相应函数值依次为， （7分） 故所求最大值为， （9分） 最小值为 . （11分） (18) (本题满分9分) 计算 ，其中 . 【解析】 ，其参数方程为， （2分） 于是，原式 （5分） （7分） . （9分）(19) (本题满分11分) 设 是以 为周期的函数且在一个周期内的表达式为 将其展开为傅里叶级数，并求级数 的和. 【解析】因为 为偶函数，所以 ， （2分） （5分） 因此 （7分
7、） 令 ，得 ， （9分） 所以 . （11分） (20) (本题满分11分) 为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多解？有解时，求出其全部解. 【解析】设方程组的系数矩阵为 ，则， （2分） 当 ，即或 时，方程组有唯一解，由克莱姆法则得 ， （5分） 当 时，方程组为 因为 ，所以方程组无解. （8分） 当 时，方程组为 因为 ，所以方程组有无穷多解，于是 ，令 ，则得通解为 ，即 ，其中 为任意常数. （11分） (21) (本题满分11分) 已知二次型 ，经正交变换化为标准形 ，求参数 及所用的正交变换矩阵. 【解析】二次型 所对应的矩阵为， . 经正交变换化为标准形 ，那么标
8、准形中平方项的系数1，2，5就是 的特征值. （2分） 把 代入特征方程，得 .因知 .这时， . （3分） 对于 ，解方程组 ，由于 ， 故 . （5分） 对于 ，解方程组 ，由于 ， 故 . （7分） 对于 ，解方程组 ，由于 ， 故 . （9分） 由于 为属于不同特征值的特征向量，故已经相互正交，只需要单位化，得 . 故所用的正交变换矩阵为 . （11分） (22)（本题满分11分） 设二维随机变量 的概率密度为 求：(I) 的边缘概率密度； (II) 的概率密度 . 【解析】(I) 当 时，； 当或 时， ；即 （3分） 当 时，； 当或 时， ；即 （6分） (II) 当 时， ；当 时，； （7分） 当 时， ， （10分） 所以 （11分） (23) (本题满分11分) 设总体 的概率密度为 是来自总体 的简单随机样本. (I) 求 的矩估计量； (II) 求 的方差 . 【解析】(I) ， （2分） 记 ，令 ，得到 的矩估计量 . （5分） (II) 由于 ， （7分） , （9分）
