《2011年江苏省高中数学学案：28《对数函数性质的运用》（苏教版必修1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年江苏省高中数学学案：28《对数函数性质的运用》（苏教版必修1）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第28课时 对数函数性质的运用【学习目标】1能根据对数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题；2能运用对数函数的概念和性质解决有关实际问题【课前导学】1.对数函数有哪些性质？（完成下表）对数函数的图象与性质a10a1图象（0a1）性质（1）定义域为；（2）值域为R；（3）图象过点（1，0）；（4）在是单调增函数在是单调减函数2求下列函数的定义域值域：解：要使函数有意义，必须有： 即：， ， 从而 ， ， ， .定义域为-1,1，值域为对一切实数都恒成立，函数定义域为R，从而，即函数值域为要使函数有意义，必须有：， 由 ， 在此区间内 ， 从而 即：值域为，定义域为-1,5，值域为要使函
2、数有意义，必须有：由： ，由：时 则须 ， 综合得 当时 ， ，定义域为(-1,0)，值域为【课堂活动】一建构数学：1.函数y=log的单调增区间是，单调减区间是（若将底数改为时，分别指出其单调区间）.2. 函数f(x)=log-ax+3a)在2，+上是单调减函数，则a的取值范围是.解：由题意可知：，可得.【总结】复合函数单调性法则“同增异减”，此类问题要注意优先考虑函数的定义域.二应用数学：例1 （1）设loga1，则实数a的取值范围是；（2）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是.解：（1）由loga1logaa得(1)当0a1时，由ylogax是减函数，得：0a；(2)当a
3、1时，由ylogax是增函数，得：a，a1；综合（1）(2)得：0a或a1.（2）由于60.71，00.761，log0.760 log0.760.7660.7.例2 设0x1，a0且a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1+x)|的大小.解法一：作差法|loga(1x)|loga(1+x)| | |(|lg(1x)|lg(1+x)|)，0x1，01x11+x，上式 （lg(1x)+lg(1+x)lg(1x2) ，由0x1，得lg(1x2)0，lg(1x2)0，|loga(1x)|loga(1+x)| .解法二：作商法|log(1x)(1+x)|，0x1， 01x1+x，|log(1x
4、)(1+x)|log(1x)(1+x)log(1x)，由0x1， 1+x1，01x21，0(1x)(1+x)1 ， 1x0，0log(1x)log(1x)(1x)1，|loga(1x)|loga(1x)| .解法三：平方后比较大小loga2（1x）loga2(1x)loga(1x)loga(1x)loga（1x）loga(1x)loga(1x2)logalg(1x2)lg，0x1，01x21，01，lg(1x2)0，lg0，loga2(1x)loga2(1+x)，即|loga(1x)|loga(1+x)| .解法四：分类讨论去掉绝对值当a1时，|loga（1x）|loga(1+x)|loga(
5、1x)loga(1+x)loga(1x2)，01x11+x，01x21，loga(1x2)0， loga(1x2)0；当0a1时，由0x1，则有loga（1x）0，loga(1+x)0，|loga(1x)|loga(1+x)|loga(1x)+loga(1+x)|loga(1x2)0，当a0且a1时，总有|loga（1x）|loga(1+x)| .例3 已知函数f(x)lg（a21）x2(a1)x1，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解：依题意(a21)x2(a1)x10对一切xR恒成立.当a210时，原命题等价于， 解得a1或a；又a1，f(x)0满足题意，a1不合题意.所以a的取
6、值范围是：（，1（，+）.例4 已知f(x)1logx3，g(x)2logx2，比较f(x)与g(x)的大小.解：易知f(x)g(x)的定义域均是：（0，1）（1，+），f(x)g(x)1logx32logx2logx(x) .当x1时，若x1，则x，这时f(x)g(x)；若x1，则1x，这时f(x)g(x) .当0x1时，0x1，logxx0，这时f(x)g(x) .故由（1）（2）可知：当x(0，1)（，+）时，f(x)g(x)；当x（1，）时，f(x)g(x) .例5 讨论函数y=loga(ax1)的单调性，其中a0，且a1解：由对数函数性质，知ax10，即ax1，于是，当0a1时，函数
7、的定义域为(，0)，当a1时，定义域为(0，)当0a1时，uax1在(，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，y=loga(ax1)在(，0)上是增函数当a1时，uax1在(0，)上是增函数，而y=logau也是增函数，yloga(ax1)在(0，)上是增函数综上所述，函数y=loga(ax1)在其定义域上是增函数例6 解方程：2(9x15)4（3x12） .解：原方程可化为(9x15)4（3x12），9x154(3x12)， 即9x143x1+30，(3x11)(3x13)0 ， 3x11或3x13，x1或x2， 经检验x1是增根，x2是原方程的根.例7 解方程log2（2-x1）(2
8、-x+12)2.解：原方程可化为：log2（2-x1）(1)log22（2-x1）2，即：log2(2-x1)log2(2-x1)12，令tlog2(2-x1)，则t2t20，解之得t2或t1，log2(2-x1)2或log2(2-x1)1，解之得：xlog2或xlog23.三理解数学：1比较0.7与0.8两值大小解：考查函数y=x，21，函数y=x在（0，+）上是增函数，又0.71，0.71=0；再考查函数y=x，01，函数y=x在（0，+）上是减函数，又10.8，0.81=0，0.700.8，0.70.82已知下列不等式，比较正数mn的大小：（1）mn (2)mn (3)mn(0a1)(4
9、)mn(a1)解：（1）考查函数y=x，31，函数y=x在（0，+）是增函数，mn，mn；(2)考查函数y=x，00.31，函数y=x在（0，+）上是减函数，mn，mn (3)考查函数y=x，0a1，函数y=x在（0，+）上是减函数，mn，mn(4)考查函数y=x，a1，函数y=x在（0，+）上是增函数，mn，mn3已知函数f(x)=,则ff()的值是4y=在区间(-,)上是增函数，求实数a的取值范围.答案：a的取值范围是,.【课后提升】1判断函数f（x）=ln（x）的奇偶性解：x恒成立，故（x）的定义域为（，+），又f（x）=ln（+x）=ln=ln=ln（x）=f（x），f（x）为奇函数.
10、2（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数；（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是减函数还是增函数？【思路分析】此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：任取x1x2（0，+），且x1x2，则f（x1）f（x2）=log2（x12+1）log2（x22+1），0x1x2，x12+1x22+1.又y=log2x在（0，+）上是增函数，log2（x12+1）log2（x22+1），即f（x1）f（x2）.函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以
11、仿照上述证明过程.【解后反思】用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.3已知f（logax）=，其中a0，且a1.（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数.【思路分析】利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t=logax，则tR，x=at（x0）.则f（t）=（atat）.（2）证明：f（x）=（axax）=（axax）=f（x），f（x）为奇函数.（3）证明：设x1x2R，且x1x2，则f（x2）f（x1）=（aa）（aa）=（aa）+aa（aa）=（aa）（1+aa）.若
12、0a1，则a210，aa，f（x2）f（x1）.y=f（x）在R上为增函数；若a1，则a210，aa.f（x2）f（x1）.y=f（x）在R上为增函数.综上，a0，且a1时，y=f（x）是增函数.4求函数y = log4 (7 + 6 x x2)的单调区间和值域.【思路分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.解：由7 + 6 x x20，得(x 7) (x + 1)0，解得1x7.函数的定义域为x|1x7.设g (x) = 7 + 6x x2 = (x 3)2 + 16. 可知，x3时g (x)为增函数，x3时，g (x)为减函数.因此，若1x1x23. 则g (x1)g (x2)即7 + 6x1 x127 + 6x2 x22，而y = log4x为增函数. log4 (7 + 6 x1 x12)log4 (7 + 6x2 x22)，即y1y2. 故函数y = log4 (7 + 6x x2)的单调增区间为(1, 3)，同理可知函数y = log4 (7 + 6x x2)的单调减区间为(3, 7).又g (x) = (x 3)2 + 16在(1, 7)上的值域为 (0, 16.所以函数y = log4(7 + 6x x2)的值域为 (, 2.
