建筑环境测量第2版 陈刚第2章

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1、1,第二章 测量数据处理及测量误差分析,2,2.1随机误差 2.2数据处理的基本原理与基本概念 2.3直接测量值的处理 2.4间接测量值的处理 2.5误差分析在数据处理中的应用举例 2.6系统误差分析,主要内容,3,进行数据处理的过程 1. 在给定条件下找出误差的分布规律； 2. 求出最优概值； 3. 对最优概值的测量精度作出估计。 在对测量所得的数据进行处理时，有两个前提条件 1. 测量数据中的全部坏值（粗大误差）已经剔除 2. 系统误差处理到最小，达到可以归纳到随机误差中去的地步，而近似认为系统误差等于0，即： =0，= + x=x，即测量数据中的绝对误差近似等于随机误差 。,综述,4,2

2、.1 随机误差,随机误差正态分布曲线,误差方程,一、随机误差的性质,5,2.1 随机误差,一、随机误差的性质 随机误差正负值的分布具有对称性； 随机误差数值分布的规律性，即绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小； 随机误差绝对值的有限性。因为曲线向X轴迅速收敛，所以大误差出现的可能性很小，即随机误差的出现有一定的范围； 由曲线的对称性可知，随机误差的总和有一定的补偿性。即,6,2.1 随机误差,二、剩余误差 在对测量数据进行测量的过程中，因真值永远得不到而采用最优概值来代替真值，由于真值的不可知，随机误差也难以得到。为此，引进剩余误差来代替随机误差。 其定义为：当进行有限次测量

3、时，各测得值Xi与最优概值X0之差，称为剩余误差或残差，用表示，即：,7,2.1 随机误差,三、方差与标准差 当 时测量值与最优概值之差的平方的统计平均值，就称为方差。 称为测量值的样本方差，简称方差 取平方的目的是：无论是正是负，其平方总是正的，相加的和不会等于零，从而可以用来描述随机误差的分散程度。这样在计算过程中不必考虑的符号，给数据处理带来方便。但求和再平均后，使个别较大的误差在式中占的比例也较大，使得方差对较大的随机误差反应较灵敏。,8,2.1 随机误差,三、方差与标准差 将上式两边开方，取正方根，得 定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差，简称标准差。 反应了测量的精密度

4、，小表示精密度高，测得值集中， 大表示精密度低，测得值分散.,9,2.1 随机误差,四、随机误差的分布概率 设测量值xi在X到X+dX范围内出现的概率为p，它正比于dX，并与X值有关。 定义为测量值的分布密度函数或概率分布函数，显然 对于正态分布的随机误差xi ，其概率密度函数为：,10,随机误差的概率分布,2.1 随机误差,11,2.1 随机误差,四、随机误差的分布概率 上式的特征： 1.愈小， 愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小， 随着的加大 很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现（随机误差的有界性）。 2.大小相等符号相反的误差出

5、现的概率相等（随机误差的对称性和抵偿性）。 3.愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测量值越集中，精密度高，反之愈大，曲线愈平坦，表明测量值分散，精密度越低。,12,四、随机误差的分布概率 在大多数情况下，测量值在其最优概值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。表现在随机误差上，等于零的随机误差出现的概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。,2.1 随机误差,13,2.2数据处理的基本原理与基本概念,一、最小二乘法原理 最小二乘法是为土木、测量工程需要而发展起来的一种古老的方法，它是科研或生产中，对实测数据进行处理的一种最基本的数据处理方法。 实际测量所得到的

6、一系列数据中的每一个随机误差Xi都满足误差方程。如果测量列 为等精度测量，为了求得最优概值，则必须有： 即在等精度测量中，为了求未知量的最优概值就要使各测量值的残差平方和为最小，这就是最小二乘法原理。,14,2.2数据处理的基本原理与基本概念,二、测量误差的评价指标及其定义 1、测量列的标准误差和极限误差max 测量列的标准误差： xi不能计算，因此用剩余误差 来表示标准误差，所以,贝塞尔公式,15,2.2数据处理的基本原理与基本概念,贝塞尔公式中，n1？ 当n=1时， X=X0 上式无实际意义。说明对某一被测量仅测量一次，其标准误差是无法用贝塞尔公式来确定的。 这也说明贝塞尔公式只有n1才有

7、意义。但若测量前，已知测量仪器的标准误差 ，且这次测量条件和确定测量仪器标准误差时的测量条件相近，则使用该仪器做一次测量也就知道其标准误差为 。如测量之前不知道 ，就必须用统计的方法定出，初定时，测量次数最好不小于6次。,16,2.2数据处理的基本原理与基本概念,标准误差的数值小，测量的可靠性就大，则测量精度高；反之，测量精度就低。 也称为正态曲线的拐点。 测量列的标准差可以看作在给定条件下，所有测量值随机误差的一个代表，它明确地、单值地表征着测量列的精密度。 测量列标准误差就具体地从数量上表示了测量过程的可靠程度，它取决于测量方法、仪器设备质量、环境条件的优劣和测量者的技术水平等因素。 。,

8、17,2.2数据处理的基本原理与基本概念,起落在区间-，的概率为 其含义为，在进行大量等精度测量时，随机误差落在区间-，的测量值的数目占测量总数目的68.3%，或者说，测量值落在区间X0-，X0+ （该区间在概率论中称为置信区间）内的概率（在概率论中称为置信概率）为0.683。,18,2.2数据处理的基本原理与基本概念,起落在区间-2，2和-3，3的概率为 -3，3区间内概率为99.7%，而落在外面的只有0.3%，即每测得1000次其误差绝对值大于3的次数仅有3次。因此，在有限次的测量中，就认为不出现大于3的误差，故把3定义为极限误差max ，或称为最大误差，也称为随机不确定度。,19,当在多

9、次等精度测量值中出现绝对值大于3 的误差，即 时，就认为该测量值属粗大误差而予以剔除。另外，按照来判断坏值是在进行大量等精度测量、测量数据属于正态分布的前提下提出的，通常将这个原则称为莱特准则，该准则使用较为方便。,2.2数据处理的基本原理与基本概念,20,2.2数据处理的基本原理与基本概念,2、最优概值的标准误差 和极限误差,或,21,2.3 直接测量值的处理,一、直接测量值的最优概值 1、直接测量值的最优概值,则其一阶导数为0，求导，,说明：直接测量值的最优概值为其算术平均值,22,2.3 直接测量值的处理,2、计算标准误差,最优概值的标准误差,23,2.3 直接测量值的处理,二、直接测量

10、值的误差分析 为了提高最优概值的精度，减少随机误差的影响，途径之一是增加重复测量的次数n。考虑其它因素，n的取值一般为416 。 应注意与 的区别。对测量列而言，标准差是测量手段精密度的指标，一套测量装置、仪表和仪器、测量方法和条件，就对应了一个确定的值；从根本上说，提高测量精密度，应从改善仪器仪表和测量条件入手，以减少值；我们在评价仪表精度时，常采用或的倍数值表示。,24,2.3 直接测量值的处理,在实际测量中，只有当我们利用这个仪表进行n次重复测量时，为评价最优概值的精密度，才使用 ，用 或的 倍数估计置信区间。 与表征不同的内涵，使用时务必注意。 当被测对象稳定时，合理地增加测量次数，才

11、可以提高测量结果的精度，这时，表示仪表的精密度。 当被测对象变化很大而仪表及其条件正常稳定工作时， 则可看作是被测对象稳定性的指标，是随机变化的指标；在这种情况下，n次测量只是对n个不同量的测量结果，计算 则无意义，这时，应利用随机过程的理论和处理方法来描述对象了。,25,2.3 直接测量值的处理,三、处理后结果的表达形式 由式 可以看到，最优概值的标准误差随测量次数的增大而减小，但减小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差收益不大，同时由于测量次数愈多，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因而实际测量中n的取值并不很大，一般在10到20之间。,26,2.3 直接测

12、量值的处理,三、处理后结果的表达形式 对于精密测量，常需进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行： 1列出测量数据表； 2计算最优概值X0，残差 及 ； 3计算和 ； 4给出最终测量结果表达式：,（置信度95.5 %),(置信度68.3 %),(置信度99.7%),27,2.4 间接测量值的处理,由于某些被测量不能进行直接测量，如散热器的传热系数、热物理中的准则数、空气中的焓值等，因而必须进行间接测量。即通过直接测量与被测量有一定函数关系的其他量，并根据函数关系计算出被测量。因此，间接测量的量就是直接测量得到的各个测量量的函数，假定间接被测

13、量Y与直接测量的有关量X1，X2，Xm有以下的函数关系： 其中，X1，X2 ， Xm为m个可直接测量的独自自变量。如果得到了X1，X2,Xm的最优概值X10，X20 ， Xm0 和标准误差1 ,2 ， m ，就可以得到间接测量值的最优概值及其标准误差。,28,2.4 间接测量值的处理,一、间接测量值的最优概值及标准误差 1、最优概值 间接测量值的最优概值Y0可以把各直接测量的最优概值代到 中求得。即 式中X10，X20 ， Xm0 ，为m个可直接测量的独自自变量X1，X2 ， Xm 的最优概值，即算术平均值。,29,2.4 间接测量值的处理,2、标准误差 在直接测量中，测量误差就是被测量的误差

14、；但在间接测量中，测量误差是各个测量值的函数。 研究函数误差，一般有下列三个基本内容： 1已知函数关系和各个测量值的误差，求间接测量值的误差； 2已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差； 3确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。,30,2.4 间接测量值的处理,如果对间接被测量的测量列 同直接测量一样定义他的测量列标准误差为: 将原函数按台劳级数展开,可得,误差累积定律或误差传播定律,称为自变量的部分误差，记为Di,或用相对误差表示,为Y的相对标准误差，Di0为Xi的相对部分误差,为间接测量值的剩余误差,31,2.4 间接测量值的处理,二、应用过程中的误差处

15、理原则 在间接测量中，当给定了函数Y的误差Y再反过来求各个自变量的部分误差的允许值，以保证达到对已知函数的误差要求，这就是函数误差分配。 在设计测量系统时常常要根据技术要求中规定的允许误差来选择方案和分析，既要作误差分析又要作误差分配，以便对各个元件及仪表提出适当的要求，从而保证整个测量系统满足设计要求。 误差分配是在已知要求的总误差的前提下，合理分配各误差分量的问题。当规定了间接测量结果的误差不能超过某一规定值时，可利用误差传递公式求出各直接测量量的误差允许值，从而满足间接测量量误差的要求。同时，可根据各直接测量量允许误差的大小来选择合适的测量仪表。,32,2.4 间接测量值的处理,二、应用过程中的误差处理原则 误差分配一般可按下列方法进行： 1.按等作用原则分配误差 等作用原则就是对同性质的物理量，认为其部分误差对函数误差的影响相等，也就是可将总允许误差平均分配给各分项误差。 如果各个直接测量值误差满足上式，则所得的函数间接误差不会超过允许误差的给定值。,33,2.按微小误差准则处理误差 在误差传播公式中，若有某一部分误差可以忽略不计，则令 这里的y与y的第一位有效数字一样（因为误差一般只取二位有效数字,而第一位是可靠数字）,只是第二位有效数字有差别,则称Dk为微小误差,据此可得：,2.4 间接测量值的处理,两边平方,34,2.4 间接测量值