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1、第 30卷 第 6期 2006年 12月 武 汉 理 工 大 学 学 报 (交通科学 与工程版 ) Journal of Wuhan University of Technology (Transportation Science曲面积分 ;对称 中图法分类号: O172. 2 1 第二类曲线积分的对称性问题 定理 1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一 条有向光滑曲线弧 1 ,其方程是一双值函数 ,设为 y= y( x ) , (axb) . 记 L1,L2分别为 L 位于 x 轴的上半部分与下半部分 , L1 , L 2分别在 x 轴上 的投影方向相反 ,函数 P( x ,y )在
2、L 上连续 ,那么 1) 当 P( x, y )关于 y为偶函数时 ,则 LP(x , y )dx = 0 2) 当 P( x, y )关于 y为奇函数时 ,则 LP( x, y )dx = 2L1p(x , y )dx 证明 依定理条件不妨设 L1: y= y( x ) ,x 从点 a变到点b. L2: y= - y(x ) , x 从点 b变到点 a. 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 L P(x , y) dx = L1P (x , y) dx +L2P( x ,y )dx = b a P x ,y (x ) dx + a b P x , - y(x ) dx = b a P x
3、, y(x ) - P x , - y( x ) dx 故 1) 当 P( x, y )关于 y为偶函数时 ,有 L P(x , y) dx = b a P x , y( x ) - P x , y( x) dx = b a 0dx =0 2) 当 P( x, y )关于 y为奇函数时 ,有 LP( x, y )dx = b a P x , y(x ) + P x ,y (x ) dx = 2 b a P x ,y (x ) dx = 2 L 1 P(x , y) dx 注 1 对于 LQ(x , y) dy 有类似定理 1的结 论. 注 2 定理 1可用两句口诀来简言之 ,即 “反 对 偶
4、零”与“反 对 奇 倍”.其中: “反”指 L1,L2在 x 轴上的投影方向相反 ( L= L1+ L2); “对”指 L 关于 x 轴对称;“偶”指被积函数 P( x ,y )在 L 上关于 y 为偶函数;“零”指曲线积分 的结果等于零.口诀“反 对 奇 倍”的涵义类 似解释. 关于曲线积分 L P(x , y) dx 还有另一个对称 性的结论是 定理 2 设L 为xoy平面上关于 y轴对称的一 条有向光滑曲线弧 ,其方程为 y= y (x ) , ( - a x a) ,记 L1 ,L 2分别为L 位于 y轴的右半部分与左 半部分 , L1 , L 2分别在 x 轴上的投影方向相同 ,函
5、数 P( x, y )在 L 上连续 ,那么 1) 当 P( x, y )关于 x 为奇函数时 ,则 L P(x , y )dx = 0 2) 当 P( x, y )关于 x 为偶函数时 ,则 LP (x , y) dx = 2 L1 P(x , y) dx 证明 依定理条件不妨设 L1: y= y( x ) ,x 从点 0变到点 a. L2: y= y( x ) ,x 从点- a变到点 0. (a 0) 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 LP( x, y )dx = L1P(x , y) dx +L 2 P(x , y) dx = a 0P x ,y (x ) dx + 0 - a P
6、 x , y( - x ) dx 对右端第 2个积分 ,令 x= - t ,有 0 - a P (x , y) ( - x ) dx = a 0P ( - t , y(t) ) dt = a 0P - x , y( x ) dx 因此有 LP( x, y )dx = a 0P x ,y (x ) dx + a 0P - x, y (x ) dx = a 0 P x , y(x ) +P - x, y (x ) dx 故 1) 当 P( x, y )在 L 上关于 x 为奇函数时 ,有 L P(x , y) dx = a 0P x , y( x ) - P x , y(x ) dx = a 00
7、dx = 0 2)当 P(x , y)在 L 上关于 x 为偶函数时 ,有 L P(x , y) dx = a 0P x , y( x ) + P x, y (x ) dx = 2 a 0P x , y( x ) dx = 2 L1 P x , y dx 注 1 对于 L Q(x , y) dy 有类似定理 2的结 论. 注 2 定理 1与定理 2虽然都是对坐标x 的曲 线积分 ,但定理 1中积分曲线弧的对称性及其投 影都是针对x 轴而言的 2 ,而定理 2中积分曲线弧 的对称性及其投影是分别针对 y 轴和 x 轴而言 的.另外 ,被积函数 P (x , y )的奇偶性也是分别针 对不同的变量
8、而言的 ,故定理 2的结论恰好与定 理 1相反 ,定理 2用口诀简言之是: “同 对 奇 零”与“同 对 偶 倍”.其中: “同”指 L1, L2分 别在 x 轴的投影方向相同;“对”指 L 关于 y 轴对 称; “奇”指被积函数 P ( x , y )关于 x 为奇函数 ; “零”指曲线积分结果等于零 .“同 对 偶 倍” 的涵义类似解释. 2 第二类曲面积分的对称性问题 与第二类曲线积分类似有以下结论. 定理 3 设E为关于 xoy平面对称的有向光 滑曲面 ,其方程是一双值函数 ,设为 z= z ( x, y ) , (x , y) Dxy(其中 Dx y为E在 xoy 平面上的投 影区域
9、 ) ,记E1 ,E 2分别为E位于 xoy平面的上半 部分与下半部分 ,E1与 E2的侧关于 xoy 平面相 反 ,函数 R( x ,y ,z)在E上连续 ,那么 1) 当 R(x , y,z )关于 z 为偶函数时 ,则 E R(x , y,z )dx dy = 0 2) 当 R(x , y,z )关于 z 为奇函数时 ,则 E R( x , y,z) dx dy = 2 E1 R(x , y, z) dxdy 证明 依定理条件不防设 E1: z = z( x ,y ) , ( x, y ) Dx y,E1取上侧. E2: z = - z(x , y) , (x , y) Dxy,E2,取
10、下侧 . 于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法 有 E R(x , y,z ) dxdy = E1 R(x , y,z ) dxdy+ E2 R( x , y,z) dx dy = Dxy R x , y,z (x , y) dx dy - Dxy R x , y, - z (x , y) dx dy = Dxy R x ,y ,z(x , y ) - R x , y, - z(x , y ) dxdy 故 1)当 R( x , y,z)关于 z为偶函数时 ,有 E R(x , y,z ) dxdy = Dxy R x , y,z (x , y) - 1070 武汉理工大学学报 (交通科学与
11、工程版 )2006年 第 30卷 R x , y,z( x ,y ) dx dy = Dxy 0dx dy = 0 2)当 R( x , y,z)关于 z为奇函数时 ,有 E R(x , y,z ) dxdy = Dxy R x , y,z (x , y) + R x , y,z (x , y) dxdy = 2 Dx y R x , y,z (x , y) dxdy = 2 E1 R( x ,y ,z) dxdy 注 1 对于 E P(x , y,z ) dydz , E Q(x , y,z) dzdx 有类似定理 3的结论. 注 2 定理 3类似可用口诀“反 对 偶 零”与“反 对 奇 倍
12、”简言之.这里: “反”指E1, E2的侧关于 xoy 平面相反;“对”指 E1 与E 2关于 xoy平面对称;其余涵义类似前面的解释 . 3 结论的应用 例 1 3 计算 I = Lxydx .其中 L 为抛物线 y 2= x从点 A( 1, - 1)到点 B( 1, 1)的一段弧 . 解 依题设条件知 ,该曲线积分满足定理 1 中“反 对 奇 倍”的结论 ,故有 I =2 L1xydx = 2 1 0x x dx = 4 5 其中 , L1: y =x , x 从点 0变到点 1. 例 2 计算 I = L (x +y) 2dx - ( x 2 + y2siny )dy. 其中 L 为 x
13、2+ y2= a2(a 0)按逆时针 方向从点 A(a, 0)到点 B( - a, 0)的上半圆周. 解 可将原式改写为 3个曲线积分的代数 和 ,即 I = L (x 2+ y2) dx - 2 Lxydx - L (x 2+ y 2siny) dy 依题设条件分析知 ,等式右端第一、第二、第 三个曲线积分依次满足定理 2中“同 对 偶 倍”、“同 对 奇 零”及定理 1的注 1中“反 对 偶 零”的结论 ,故有 I = L (x 2+ y2) dx = 2 L1 (x 2 +y2) dx = 2 0 a (x 2 + a2- x 2) dx = - 2a3 其中 , L1: y =a2-
14、x2, x 从点 a变到点 0. 例 33 计算 I = E xyzdx dy.式中: E为球面 x 2+ y2+ z2= 1的外侧位于 x 0, y 0的部分 . 解 依题设条件分析知 ,该曲面积分满足定 理 3中“反 对 奇 倍”的结论 ,故有 I = 2 E1 xyzdx dy = 2 Dx y xy1- x 2 - y2dx dy = 2 0 sin2 d 1 0r 3 1- r2dr = 2 15 其中 , E1: z =1- x 2 - y 2, ( x , y) Dxy= (x , y)| x 2+ y2 1, x 0,y 0. 例 4 4 计算 I = E (x 2 - yz)
15、 dydz+( y2- zx ) dzdx +2zdx dy. 其中 ,E为锥面 z =1 - x 2 +y 2 被平面 z =0所截得的部分 , 取上侧. 解 原式可写为三个曲面积分之和 ,即 I = E (x 2 - yz) dydz+ E ( y2- zx ) dzdx +2 E zdxdy 依题设条件可知右端第一、第二曲面积分均 满足定理 3中“反 对 偶 零”的结论 ,故有 I = 2 E zdx dy = 2 Dxy ( 1-x 2+ y2) dxdy = 2 2 0 d 1 0 ( 1 - r)rdr = 2 3 其中: Dx y= (x , y)| x 2+ y2 1. 例 5 计算 I = E x r3 dydz + y r3 dzdx + z r3 dxdy.其中: r =x 2 +y2+ z2;E为球面 x 2+ y 2 + z 2 = a 2(a 0) ,取外侧 . 解 首先由轮换对称性有 I =3 E z r3 dx dy, 其次可知 E z r3 dxdy满足定理 3中“反 对 奇 倍”的结论 , 故有 1071 第 6期 刘富贵 ,等: 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 I =6 E1 z r3 dx dy
