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1、1997年考研数学试题详解及评析文档标题 1997 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题13sin x + x cos2x（【1）lim=.( +) ( + )x01 cos x ln 1 x3答】.213sin x + x cos23sin x11xlim= lim+ lim xcos【详解】 原式 x02x2x0xx02x3=3+ 0 = .22+( )n 1n（【2）设幂级数a xn 的收敛半径为 3，则幂级数 na x 1 的收敛区间为.nn=0n=1()答】2,4 .na xn 1 的收敛半径仍为 3，故详解】 根据幂级数的性质，逐项求导后，得nn=1( )
2、n+1 = ( )( )n2na x 1n2na x 1 x 1nn=1n=1的收敛区间为 x 1 f x 0, f( ) x=(2)设在区间 a,b 上0, f 0 ，令 S1a1( )( ) = ( )+ ( )( )，则S2 f b b a ,S=f a f b b a32（A） S S S(B) S S S2 1 3.123.(C) S S S(D) S S ( ) = ( ) 0 知，曲线 y f x 在 a,b 上单调减少且是凹曲线弧，于由 f x 0, f x 0, fx( ) ( )是有 f xf b , ( ) ( )f b f a( ) ( )+( ) ( )( ) =2S
3、1=f x dx f b b a S ,a( ) ( )f b f ab( ) f x dxb( )+f a( )S1x a dxb aaa12= ( )+ ( )( ) =f a f b b a S . 3即S S 0.0故应选（A）.a b c 111 （4）设 = a , = b , = c , 则三条直线 122232 c3a3b3 a x + b y + c = 0,a x + b y + c = 0,a x + b y + c = 0（其中ai2+ bi 0,i =1,2,3）交于一2111222333点的充要条件是（A） , , 线性相关.（B） , , 线性无关.1 2 312
4、3( )( ) , 线性相关， , 线性无关. 1 2C）秩r, 秩r,（D）,1231212 3【】【答】 应选(D).详解】 由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组 a x + b y + c = 01 1 1a x + b y + c = 0222a x + b y + c = 0333( )( ), 2.1 2有唯一解，其充要条件为秩秩 r,秩 r123（A）、（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）.5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量3X 2Y 的方差是A）8.（B）16.（C）28.（D）44.【】【
5、答】 应选（D）.() =2( )+2( ) = + =详解】 D 3X 2Y 3 D X 2 D Y 9 4 4 2 44.2= 2zy(x2)三、（1）计算I =+ y2dV, 其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面x = 0与平面 z = 8 所围成的区域.【详解】 利用柱面坐标，积分区域可表示为2r = (,r, z | 0) 2,0 r 4, z 8,2于是2r2484rdr0I =dr2dz = 2r38drr220021024=.32+y =12xv ( ) + ( ) + ( )（2）计算曲线积分 z y dx x z dy x y dz,其中C 是曲线 ,x y + z = 2C从 z 轴正向往 z 轴负向看，C 的方向是顺时针的.【详解 1】令 x = cos, y = sin, 则 z = 2 x + y = 2 cos + sin由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应 值分别为 = 2, = 0.于是v ( ) + ( ) + ( )z y dx x z dy x y dzC02 2cos 2 1d (sin + cos )=2 |0= (cos + sin )sin 2 222.【详解 2】设 是平面 x y +
