《【考研数学】2001年一数一真题、标准答案及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考研数学】2001年一数一真题、标准答案及解析（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 理工数学一试题详解及评析xsincosx)（c ,c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的1 2(1)设2详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为 =1 i ，从而特征方程为 1+ i ,()1,2()2 2 + 2 = 0,于是所求方程为y 2y方法二 将已知解代入y + by + cy = 0，得( ()( ()xxsin x b c c + cc 2c + excos x b c + c + cc + 2c. 由 于 e sin x 与x12121221= 2,c = 2cc1 2c ,b cc2c ，解得b2121xsinx + c2(c c )sin x + (c + c
2、)cos x1 2 1 2)yy= e = e(2c sin x + 2c cos x)21从这三个式子消去c 与c ，得y 2y+ 2y = 012r = x2+ y2+ z2, 则div gradr(=3rryrzxyzgradr = i +j + k = i + j + kxrrrx r x y r y z r z 2222222rxryrz2r2() =+=+=div gradrr3r3r3r3r作者姓名1 2=212+ (2) + 2201y()f x, y dx=1221x( )f x, y dy .10012101y2()D = (x, y)| 1 y 0,1 y x 2,又可将
3、 D 改写为()D = x, y |1 x 2,1 x y 2 ,00220()f x, y dy1211y1dx1x2()=10( )1+ A 4E = O ,其中 E 为单位矩阵，则 A E(4)设矩阵 A 满足A212A2+ A 4E = O ，A2+ A 2E = 2E ，( )( + ) =A E A 2E 2E,1( ) ( + ) =A EA 2E E,21( )1( +A 2E)A E2( ) 5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X E X 2 .12( )D X12( ) P X E X 2 =22-2 - ( )= ( )=( )1）设函数 f
4、 x 在定义域内可导， y f x 的图形如右图所示，则导函数 y f x 的【】( )是严格单调增加的，因此当 x 0详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y f x=y = f (x)图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；( )的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f (x)图=形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.故正确答案为（D）.()(0, 0) =2）设函数 f x, y 在点 0,0 附近有定义，且 fx= 3dx + dy.(0,0)（=()在点(0, 0, f (0, 0)的法向量为3, 1, 1B）曲面 z
5、f x, yz= (f x, y)()C）曲线 在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 1, 0,3y = 0-3 - zf x, y)()D）曲线 在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 3, 0,1【】答】 应选（C）详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；() = ()令 F x, y, zzf x, y ，则有Fxxyyz(因此过点 0, 0, f 0,0 的法向量为 3,1,1 ，可排除（B）；x = xzf x, y)()可表示为参数形式： y = 0 ，其中点 0, 0, f 0,0 的切向量为)z=(0,0 = 1, 0, 3)x( ) =3
6、）设 f 0 0，则 f x 在点 x 0 可导的充要条件为11( )hA） lim0h2h0h1h1( )f h 存在 ( ) ( )C） limf h sinh 存在.（D） lim f 2h0h2h0hh【】f (x)1x(lim f 1 eh= xlimh0hx0x1( )=( h)可 见 ， 若 f x 在 点 x 0 可 导 ， 则 极 限 lim f 1 e 一 定 存 在 ； 反 过 来 ， 若h0h1()lim f 1 ehh0h()( )f xxf 1 ehf 1 ehh1 elimx =1 ehlim= limhhx0h0hh0( )=存在，即 f x 在点 x 0 可导
7、，因此正确选项为（B）.-4 - ( ) =至于（A），（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如， f xx ,在1 cosh1 cosh1( ) =limf 1 cosh limlim2h2h2h0hh0h01( ) =limf h sinh limlim2h2h3h0hh0h01, x 0=0, x = 0111( ) ( ) = 0limf 2h f hlimh0hh0h1 1 1 14 0 0 04）设 A =，则 A 与 B1 1 1 10 0 0 0【】A 是实对称矩阵，且其特征值为： = 4, = = = 0, 故存在正交矩阵Q,使得12344 0 0 00=
8、TAQ0可见，则 A 与 B 既合同又相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相12【】-5 - 详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n X ，因此 X 和Y 的相关系数为 r = 1arctan ex三、求dxe2xarctan exarctan ex ( )dxd e 2xe2x1dex e2x arctan ex(1+ e2x ) 2e1(e2x arctan ex+ex arctane+x2()在点(1, 1)处可微，且=f| =| = ( )= ( )2,3,xf x, f x, x .x
9、(1,1)d3dxx=1详解】 由题设，有1 f 1, f 1,1 f 1,1 1, ( ) = ( ( )= ( ) =d ( )x(x)|(x)3= 32dxx=1dx(x, f (x, x)+ f(x, x)+ fy=32(x) fxyx31 2 3 2 3 + ( + ) =511+ x2( )n1( ) =五 、设 f x x1 4n2n=11+ x【详解】 因=2( )1 x , x 1, 1n2n ( )1n=1-6 - ( )n1x()x2n+1, x1,1 =arctan x dx=2n +10n=1( )n( )n11( )= +f x12n +1n=1( )n( )n11=1+x2n+x2n2n +12n +1n=1n=1n=1+x 2n , x 1, 12n +1n=1( )n111= .1 4n224 2n=1 ()()()dz ，其中 L 是平面 x y z 2+ =I =y22dx + 2z2 x2dy + 3x2 y2+与L柱面 x + y =1的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向.详解 1】记 S 为平面 x + y + z = 2 上 L 所围成部分的上侧， D 为 S 在 xOy 坐标面上的投影.由斯托克斯公式得2z 6x dzdx+ ( )2x 6y dxdy+ (
