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1、46/1,马尔科夫预测法,马尔科夫方法的基本原理 案例分析,10A,46/2,马尔科夫预测法,马尔科夫预测法是预测技术中一种重要的方法 不需要大量的统计资料，只需近期资料就可进行预测， 既可用于短期预测，也可用于长期预测,46/3,马尔科夫方法的基本原理,1、基本概念 2、状态转移概率矩阵 3、稳态概率矩阵,46/4,【引例 】假设一片树林里共有 n 棵树，一只松鼠随机地从某棵树跳到另一棵树。我们可以把松鼠的运动看作是一个随机运动系统。在时刻 t ，松鼠所在的那棵树，可称为松鼠所处的状态， n 棵树则表示共有 n 个状态。由此，可以引出以下概念。,基本概念,46/5,基本概念,(1)随机运动系
2、统 如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程，这个系统就是随机运动系统 (2)状态随机变量 为了表示一个随机运动系统在变化过程中的状态，可以用一组随时间过程而变化的变量来描述，这个变量称为状态随机变量,46/6,设有一个随机运动系统处于的状态为 i (i1,2,n)，它只能在时刻 t ( t1,2,m)上改变它的状态，则状态随机变量,系统所取状态的集合，称为状态空间,即表示在时刻t，系统处于状态i,Xti,46/7,马尔科夫发现：对于实际存在的随机运动系统 系统在每一时刻(或每一步)的状态，仅仅取决于前一时刻(或前一步)的状态，而与过去的其它状态无关。这个性质称为无后效性
3、 例如，松鼠下一步将处于什么状态(将跳到哪棵树上)，只与它现在所处的状态(现在所处的那颗树)有关，而与它以前的状态(以前曾在的树)无关 具备无后效性的离散型随机过程，称为马尔科夫链，简称马氏链，或称时间和状态均离散的马尔科夫过程,(3)马尔科夫链,46/8,基本概念,(4)状态转移 即状态变化。当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而实现了状态转移。 (5)转移概率 系统状态的变化（转移）是随机的，用概率来描述系统从某种状态转移到各种状态的可能性大小，这种概率称为状态转移概率，简称转移概率,46/9,转移概率中最重要的是一步(次)转移概率，表示为,
4、其中： pij(1) 表示系统从状态i到状态j的一步转移概率，“(1)”表示 一步； pij 表示系统从状态i经过一步转移到状态j的概率； P( Xm+1=j |Xm=i ) 表示在时刻 m 的系统状态为 i 的条件下，转移到（发生）在时刻 m+1 的系统状态为 j 的条件概率,马尔科夫链的任何 k 步转移概率都可由一步转移概率求出,46/10,若系统有n个状态，则系统全部一步转移概率的集合所组成的矩阵，称为一步状态转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵,状态转移概率矩阵,(1)一步状态转移概率矩阵,表示为,46/11, pij 0 i, j=1,2,n,满足、这两个性质的行向量称为概率向量，由概
5、率向量构成的方阵称为概率矩阵 转移矩阵必是概率矩阵,状态转移概率矩阵的性质,如果A和B均是概率矩阵，则AB也是概率矩阵； 如果A是概率矩阵。则An也是概率矩阵。,46/12,状态转移概率矩阵一般是指一步状态转移概率矩阵 实际工作中往往需要预计今后第 k 个时刻系统的状态，需要求出系统的 k 步状态转移概率矩阵,(2)K 步状态转移概率矩阵,记 k 步状态转移概率矩阵为P(k)，则,即系统的k步状态转移概率矩阵可由k-1步状态转移概率矩阵乘上一步状态转移概率矩阵求得，也可由一步状态转移概率矩阵的k次方求得,46/13,例 若,则,46/14,定义：一个概率矩阵P，若它的某个m(m为正整数)次方P
6、m的所有元素都为正数(即无负数和0)，则称P为正规概率矩阵。,稳态概率矩阵,(1)正规概率矩阵,例 判断下列矩阵是否为正规概率矩阵。,46/15,所以， 是正规概率矩阵。,解：,所以， 不是正规概率矩阵。,因为,对于任何正整数m，都有,46/16,定义：任一非零概率向量 u=( u1,u2,un )，乘以概率矩阵P后，其结果仍为u，即,(2)固定概率向量,则称u为P的固定概率向量（或特征向量）,uP=u,例如,因为,所以，u是P的一个固定概率向量。,46/17,设P是正规概率矩阵，则已被证明： P恰有一个固定概率向量u，且u的所有元素都是正数 P的各次方组成的序列 P, P2, P3, 趋于方
7、阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量。 若pi为P的任一概率向量，则向量序列 piP, piP2, piP3, 都趋于固定概率向量u。,(3)正规概率矩阵的性质,46/18,若马氏链的状态转移矩阵为正规概率矩阵，当转移步数 k 足够大时，k 步转移矩阵将趋向某一方阵T，即,(4)稳态概率矩阵,则称方阵T为稳态概率矩阵。,根据定义很难求出稳态概率矩阵T。但由正规概率矩阵的性质可知，稳态概率矩阵T的每一个行向量都是固定概率向量u。因此，求出状态转移矩阵的固定概率向量u，可以进而得到稳态概率矩阵T,46/19,例 求下列正规概率矩阵的稳态概率矩阵T,解：,因为,所以P为正规概率矩阵。,46/20
8、,第步，先求固定概率向量,设P的唯一固定概率向量为,根据固定概率向量的定义有,即,46/21,根据概率向量的定义有,得到,将u3代入式得,将u1、u3代入式得,所以,46/22,第二步，求稳态概率矩阵T,根据正规概率矩阵的性质可知,从该例可见，如果系统经过较长时间的运行(即转移步数 k 足够大)后，不管系统的初始状态如何，从各状态转移到某状态的概率都是相等的。这种稳定的转移概率，称为稳态概率。,46/23,分析思路：机器的运行存在正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机器的运行看作一个状态随时间变化的随机系统。为简单起见，可以认为机器以后的状态只与目前的状态有关，而与过去的状态无关
9、，即具有无后效性。这样，机器的运行可看作马氏链。,机器运行状态的预测,预测目的：在机器很多的大批量生产的企业里，需要掌握机器发生故障的规律性，以便有效地计划和控制生产，同时也为合理配备维修人员提供依据。为此，可运用马尔科夫方法预测机器某个时刻的状态和长期运行状态。,（二）案例分析,46/24,例1 某企业经过调查统计，得知机器在一周时间内，从正常状态转移到故障状态的概率是0.6，而从故障状态转移到正常状态的概率为l。如果机器本周末均处于正常状态，试预测第3周机器的状态和机器长期运行的状态。,解：设机器的正常状态为状态1，故障状态为状态2，即得本周(即第0周)末机器的初始状态向量为,由已知条件可
10、得机器的一步状态转移概率矩阵为,1 2,1 2,1 2,46/25,当已知系统的初始状态和一步转移概率时，就可预测系统在任意时刻所处的各种状态的可能性大小。 预测模型为,式中 s(k) 表示系统经 k 步转移后所处的状态；k为大于0的正整数。,46/26,第3周机器的状态为,由此可知，机器在第3周处于正常状态的可能性和处于故障状态的可能性大致相当。,46/27,由于P3的矩阵中所有元素都大于0，所以P为正规概率矩阵。由正规概率的性质可知，机器长期运行后，将趋于稳态概率矩阵，因此可进行机器长期运行的预测。 长期预测,设固定概率向量u=(u1,u2),则有 uP=u,即,46/28,得到,再根据,
11、可解得 u1 = 0.625, u2 = 0.375,即固定概率向量,稳态概率矩阵,u=( 0.625, 0.375 ),46/29,该例说明：在现有的生产和维修条件下，机器长期运行时，处于正常状态的可能性约为0.6，处于故障状态的可能性约为0.4。或者说，约有0.6的时间处于完好状态，约有0.4的时间处于故障状态。据此，可合理安排生产计划和维修计划。,46/30,市场占有率预测,背景： 对于某种产品，往往有若干厂家生产。用户购买哪家的产品，会受到消费偏好、厂家的广告宣传和推销活动等多方面的影响。因此，在产品质量基本相同的情况下，可以认为市场的变化带有随机性。如果本期市场占有率仅取决于上期市场
12、占有率及转移概率，转移概率在一定时期内无大的变化，则可用马尔科夫方法预测市场状况。 例 设某产品有三种牌号(商标)在市场上销售。调查得知，本月购买1、2、3种产品的顾客各占0.4、0.3、0.3；顾客选购这三种产品的变化情况如下表所示。试预测第3个月该产品的市场占有率和长期的市场占有率。,46/31,表中第一行说明：上月选购产品1的顾客，本月有0.4仍选购产品1，各有0.3转而选购产品2和产品3。其它各行类似,转移概率表,46/32,解：由已知条件，得本月市场的初始状态向量,一步转移概率矩阵,由此可预测第3个月的市场占有率(本月为第0月)为：,46/33,因为一步转移概率矩阵P是正规概率矩阵，
13、所以长期的市场占有率将趋向稳定状态。 设固定概率向量,根据正规概率矩阵的性质有,46/34,整理得,解得,即固定概率向量,u(0.5, 0.25, 0.25),稳态概率矩阵为,于是预测的长期市场占有率：产品1为0.5，产品2和3均为0.25。,46/35,一个与经济有关的随机系统在状态转移时，会发生收益的变化。若马氏链各状态转移时赋于其一定的利润，则可称为有利润的马氏链。,期望利润预测,若系统有 n 个状态，设由状态 i 经过一步转移到状态 j 时，所获得的利润为 rij ，则所有各状态转移时获得的利润依次排列，构成利润矩阵R,若rij 0 ，表示盈利 若rij 0 ，表示亏损 若rij =
14、0，表示盈亏平衡,46/36,由于系统状态的转移是随机的，因而得到的利润也是随机的。 设 qi(1) = qi 为系统从状态 i 开始，经过一步转移到各状态所获得的期望利润，可称为即时期望利润。若状态 i 经过一步转移到状态 j 的概率为pij，状态转移概率矩阵为P，则即时期望利润的计算公式(或预测模型)为,46/37,规定未转移前（转移步数k0时）的期望利润为0，亦即 qi(0)0 (i=1,2,n)；系统经过k步转移，所得到的期望利润可由以下递推公式求得：,即时期望利润列向量Q为,(i=1,2,n),46/38,因为,所以 k 步转移的期望利润公式又可写成以下矩阵形式：,46/39,说明
15、期望利润预测值，不是绝对利润的数值，而是概率意义上的平均值。它反映了系统状态转移的过程中所得到的期望收益，因而可作为企业经济分析和有关决策的依据。,46/40,例3 其种商品在市场上的销路受多方面因素的影响。现按一定准则将销售状况分为畅销、滞销两种，并调查统计了过去24个月的销售状况如表所示。,经统计得出销路变化时的利润变动数值见下表。已知本月处于畅销状态，试预测下一个月的即时期望利润和3个月的期望利润。,表1,46/41,表中说明：连续畅销可获利50万元；由畅销转入滞销可获利15万元；由滞销转入畅销可获利20万元；连续滞销则亏损30万元。,表2 利润变动数值,46/42,解：设状态1为畅销，
16、状态2为滞销，则状态转移概率计算如下：,同理（或根据概率向量的性质）有 （或p12 = 1 p11）,表1中，由畅销转移的次数共14次，其中由畅销转到畅销的次数为7次，故,同样可得,46/43,于是得商品销售的状态转移概率矩阵为,根据已知销路变化时的利润变动数值(即表2)可得利润矩阵,46/44,根据即时期望利润的公式，并已知本月为畅销状态，故下个月的即时期望利润（即时期望利润）为,（万元）,为求3个月的期望利润，须先计算 q2 和 Q(2) ：,（万元）,所以,46/45,由递推公式，有,46/46,结果说明：,q1(3)=77.29万元，即本月处于畅销状态时，3个月的期望利润预测值为77.29万元；,q2(3)=58.53万元,即本月处于滞销状态时，3个月的期望利润预测值为58.53万元。,本例为简单起见，仅将产品的销售状态划为畅销和滞销两
