江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试卷附答案解析

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1、1 江苏省南通市基地学校 2019 届高三 3 月联考 数学试题 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分分 1.已知集合,则_ 【答案】 【解析】由题意得: 则 本题正确结果: 2.已知复数(i 为虚数单位) ,若 为纯虚数,则实数 a 的值为_ 【答案】2 【解析】 为纯虚数 本题正确结果: 3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,抽取容量为 1000 的样本,其频率分布直方图如图所示根据此图可 知这批样本中寿命不低于 300 h 的电子元件的个数为_ 【答案】800 2 【解析】使用寿命在的概率为: 使用寿命在的概率为: 使用寿

2、命在的概率 使用寿命不低于的概率 使用寿命不低于的电子元件个数为:(个) 本题正确结果: 4.运行如图所示的流程图,若输入的,则输出的 x 的值为_ 【答案】0 【解析】由,得:,循环后:, 由,得:,循环后:, 由,得:,循环后:, 由,得:,输出结果: 本题正确结果: 5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(四个面上分别写有数字 1,2,3,4)先后抛掷 2 次,观察其朝下一面的 3 数字,则两次数字之和为偶数的概率为_ 【答案】 【解析】骰子扔两次所有可能的结果有:种 两次数字之和为偶数,说明两次均为奇数或均为偶数,则有:种 两次数字之和为偶数的概率 本题正确结果: 6.已知双曲线的一个焦点到

3、一条渐近线的距离为 3a,则该双曲线的渐近线方程为 _ 【答案】 【解析】 渐近线方程为: 由双曲线对称性可知,两焦点到两渐近线的距离均相等 取渐近线,焦点 渐近线方程为: 本题正确结果: 7.已知正四棱柱中,AB=3,AA1=2,P,M 分别为 BD1,B1C1上的点若,则三棱锥 MPBC 的体积为_ 【答案】1 4 【解析】由题意可知原图如下: 又,即 到面的距离 等于到面的距离 即 本题正确结果: 8.已知函数是 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)2xm(m 为常数),则的值为_ 【答案】 【解析】为 上的奇函数 又 本题正确结果: 5 9.已知角 的终边经过点,函数图象的相邻两条对

4、称轴之间的距离等于 , 则的值为_ 【答案】 【解析】角 终边经过点 , 两条相邻对称轴之间距离为 即 本题正确结果: 10.如图,在平面直角坐标系中,点在以原点 为圆心的圆上已知圆 O 与 y 轴正半轴的交点为 P,延长 AP 至点 B,使得,则_ 【答案】2 【解析】圆 半径 则所在直线为:,即: 设,则, 解得: 6 本题正确结果: 11.已知函数的单调减区间为,则 的值为_ 【答案】e 【解析】 单调递减区间为且 为方程的两根 由韦达定理可知: 当,即时, 当,即时, ,即 此时,即无解 综上所述: 本题正确结果: 12.已知函数有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是_ 【答案】

5、7 【解析】当时, 且在上单调递增 有且仅有一个零点 当时,需要有两个零点 当时, 当时,恒成立,即单调递增,不合题意; 当时,令,解得: 当时,此时单调递增; 当时,此时单调递减 , 本题正确结果: 13.在平面直角坐标系中,已知圆 O:和点 M(1,0) 若在圆 O 上存在点 A,在圆 C: 上存在点 B,使得MAB 为等边三角形,则 r 的最大值为_ 【答案】8 【解析】圆 由题意可知:, 又且 若 最大,则需取最大值 ,且在圆 内部 8 可得,又与成角为 设,则直线所在直线方程为: 又 解得:或(舍) 时 取最大值 本题正确结果: 14.已知等差数列的前 n 项和 Sn0,且,其中且若

6、 () ,则实数 t 的取值范围是_ 【答案】 【解析】设等差数列首项为,公差为 由得:且 即:对恒成立 若,不恒成立,舍去 若即,此时满足题意 若即时,需时, ,满足题意 ,又,所以 9 由得: 两式作商可得:, 又 整理可得: 设, 当时, 即 当时, 当时, 此时,即,无法取得 当时, 即 当时, 当时, 10 综上所述: 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图,在三棱柱中,求证: (1)平面; (2)平面平面 证明:(1)在三棱柱中, 又平面,平面 所以平

7、面 (2)在三棱柱中,四边形为平行四边形 因为,所以四边形为菱形, 所以 又,平面,平面 所以平面 而平面 所以平面平面 16.在中,角所对的边分别为向量,且 (1)若,求角 的值; 11 (2)求角 的最大值 解:(1)因为,且 所以,即 由正弦定理,得 所以 整理,得 将代入上式得 又,所以 (2)方法一:由式,因为,所以 式两边同时除以,得 又 当且仅当,即时取等号 又,所以 的最大值为 方法二:由(1)知, 由余弦定理 代入上式并化简得 12 所以 又 当且仅当,即时取等号 又,所以 的最大值为 17.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆 :的离心率为,且左焦点 F1到左准 线的距离为

8、4 (1)求椭圆 的方程; (2)若与原点距离为 1 的直线 l1:与椭圆 相交于 A,B 两点,直线 l2与 l1平行,且与椭圆 相切 于点 M(O,M 位于直线 l1的两侧) 记MAB,OAB 的面积分别为 S1,S2,若,求实数 的取值 范围 解:(1)因为椭圆 的离心率为,所以 又椭圆 的左焦点到左准线的距离为 所以 所以, 13 所以椭圆 的方程为 (2)因为原点与直线的距离为 所以,即 设直线 由得 因为直线 与椭圆 相切 所以 整理得 因为直线 与直线 之间的距离 所以, 所以 又 因为,所以 又位于直线 的两侧,所以同号,所以 所以 故实数 的取值范围为 14 18.某鲜花小镇

9、圈定一块半径为 1 百米的圆形荒地,准备建成各种不同鲜花景观带为了便于游客观赏,准 备修建三条道路 AB,BC,CA,其中 A,B,C 分别为圆上的三个进出口,且 A,B 分别在圆心 O 的正东方 向与正北方向上,C 在圆心 O 南偏西某一方向上在道路 AC 与 BC 之间修建一条直线型水渠 MN 种植水生 观赏植物黄鸢尾(其中点 M,N 分别在 BC 和 CA 上,且 M 在圆心 O 的正西方向上,N 在圆心 O 的正南方 向上) ,并在区域 MNC 内种植柳叶马鞭草 (1)求水渠 MN 长度的最小值; (2)求种植柳叶马鞭草区域 MNC 面积的最大值(水渠宽度忽略不计) 解:(1)以圆心

10、为原点,建立平面直角坐标系,则圆 的方程为 设点, 直线的方程为,令,得 直线的方程为,令,得 所以 令, 即, 则 15 令,得 当时,则单调递减; 当时,则单调递增; 所以当时, 所以 水渠长度的最小值为百米 (2)由(1)可知,且 则 设,因为,所以 所以, 所以当时, 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 另法:(2)因为,所以 由 所以 16 设,因为,所以 所以, 所以当时, 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 19.已知数列的各项均不为 0,其前 n 项和为若, (1)求的值; (2)求数列的通项公式; (3)若数列满足,求证:数列是等差数列 解:(1)时,由得 解得

11、(2)时,由,得 则 因为,所以 所以 得 所以,两式相减得 即数列及数列都成公差为 的等差数列 17 由,得,可求得 所以数列的通项公式为 (3)由,得 所以 因为,所以 所以 两式相减得,即 所以 两式相减得 所以 因为,可得 所以 所以数列是等差数列 20.已知函数,其中且, (1)若函数 f(x)与 g(x)有相同的极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) ,求 k 的值; (2)当 m0,k = 0 时,求证:函数有两个不同的零点; (3)若,记函数,若,使,求 k 的取值范 围 解:(1)因为,所以 18 令,得 当时,则单调递减; 当时,则单调递增; 所以为的极值点 因为

12、,所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点,所以 所以 (2)由题意,所以 因为,所以 令,得 当时,则单调递减; 当时,则单调递增; 所以为的极值点 因为,又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且,所以 所以,又在上连续且单调 19 所以在上有唯一零点 综上,函数有两个不同的零点 (3)时, 由,使,则有 由于 当时,在上单调递减 所以 即,得 当时,在上单调递增 所以 即,得 当时, 在上,在上单调递减; 在上,在上单调递增; 所以 即(*) 易知在上单调递减 故,而,所以不等式(*)无解 20 综上,实数 的取值范围为或 数学数学(附加题)(附加题) 第第 21、2

13、2、23 题,每小题题,每小题 10 分,共计分,共计 30 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 21.已知二阶矩阵 有特征值,其对应的一个特征向量为,并且矩阵 对应的变换将点(1,2) 变换成点(8,4) ,求矩阵 【答案】 【解析】设所求二阶矩阵 因为 有特征值,其对应的一个特征向量为 所以,且 所以,解得 所以 22.如图,四棱锥 PABCD 中,底面四边形 ABCD 为矩形,PA底面 ABCD, ,F 为 BC 的中点, (1)若,求异面直线 PD 与 EF 所成角的余弦值; 21

14、(2)若,求二面角 EAFC 的余弦值 解:以 为原点,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则, (1)当时,由得 所以,又 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)当时,由,得 设平面的一个法向量为,又, 则,得 又平面的一个法向量为 所以 所以二面角的余弦值为 23.设整数数列an共有 2n()项,满足,且 22 () (1)当时,写出满足条件的数列的个数; (2)当时,求满足条件的数列的个数 解:(1)时,且 则确定时,有唯一确定解 又,可知有 种取法 若,则,则有 种取法 此时,也有 种取法 又,当确定时,随之确定 故所有满足条件的数列共有:个 满足条件的所有的数列的个数为 (2)设,则由得 由得,则: 即 用 表示中值为 的项数 由可知 也是中值为 的项数,其中 所以的取法数为 23 确定后,任意指定的值,有种 由式可知,应取,使得为偶数 这样的的取法是唯一的,且确定了的值 从而数列唯一地对应着一个满足条件的 所以满足条件的数列共有个 下面化简 设 两展开式右边乘积中的常数项恰好为 因为,又中的系数为 所以 所以满足条件的数列共有个

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