四川省泸州市2019届高三二诊考试数学（理）试题附答案解析

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1、- 1 - 2019 年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 B，然后根据集合的交集的运算求出. 【详解】解：B=x|-3x3, 又 AB=1 故选：A 【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题. 2.=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简. 【详解】=， 故选 C

2、. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3.已知，则 tan2=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可. - 2 - 【详解】由正切函数倍角公式： 故选 B 【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题. 4.是成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 解出关于 x 的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系. 【详解】解：lnx1xe x3xe， xe 推不出 x3， x3 是 lnx1 成立的充分不必要条件

3、 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题. 5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 【答案】B 【解析】 试题分析：由正视图排除 A，C；由侧视图排除 D，故 B 正确 考点：三视图 - 3 - 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图” ，该图是由四个全等的直角三角 形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形设直角三角形中一个锐角的正切值为 3在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边

4、长为 ,故概率为 . 7.在ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（ ） A. 4B. 3C. D. 5 【答案】C 【解析】 解：在中，平方整理可得， 在方向上的投影是. 点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的 坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹 角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来 解决 - 4 - 8.设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定，

5、然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系. 【详解】由于，所以 为三个数中最大的.由于 ，而，故.综上所述， 故选 C. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“ 和 ”作为分 段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于 的，有一个是介于 和 之间的，还有一个是小于 的， 由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质. 9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象 （ ） A. 关于直线对称B. 关于直线对称 C. 关于点对称D. 关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数的对称性求得a的值，可

6、得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性， 得出结论 【详解】解：函数f（x）asinx+cosx（a为常数，xR R）的图象关于直线x 对称， f（0）f（ ） ，即，a， 所以函数g（x）sinx+acosxsinx+cosxsin（x+ ） ， 当x 时，g（x）-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x 对称，故A错误， 当x 时，g（x）1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x 对称，故B错误， - 5 - 当x 时，g（x）0，故C错误， 当x时，g（x）0，故D正确， 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目

7、，比较全 面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题 10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径 2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过ABC外接圆圆 心的垂线与线段 SA 中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用 球体表面积公式可得出答案 【详解】解：由于ABBCAC3，则ABC是边长为 3 的等边三角形，由正弦定理知，ABC的外接圆直 径为， 由于SA底面ABC，所以，ABC外接圆圆心的垂线与线段 SA 中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心， 所以外接

8、球的半径， 因此，三棱锥SABC的外接球的表面积为 4R2421 故选：C 【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等 题 11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与 的左、 右两支分别交于点，若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 - 6 - 【分析】 由双曲线的定义可得|AF1|2a，则|AF2|AF1|+2a4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可 得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值 【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a， |AB|BF2|，可得|AF1|2a，

9、 则|AF2|AF1|+2a4a， cosBF1F2 ， 化简可得c410a2c2+13a40， 由e 可得e410e2+130， 解得e25+2， 可得e， 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和 余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12.已知函数，则满足恒成立的 的取值个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由f（x）（exa） （x+a2）0，对a分类讨论，可知a0 时不合题意，当a0 时， f（x）的两个因式 同正同负，则需在同一 x 处等 0，则转化为a2lna的根的个数求

10、解 【详解】解：f（x）（exa） （x+a2）0， 当a0 时，f（x）（exa） （x+a2）0 化为exx0，则x0，与xR R 矛盾； - 7 - 当a0 时，exa0，则x+a20，得xa2，与xR R 矛盾； 当a0 时，令f（x）0，得xlna或xa2，要使f（x）0 恒成立， 则a2lna，作出函数g（a）a2与h（a）lna的图象如图： 由图可知，a的取值个数为 1 个 故选：B 【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.的展开式中 x2的系数为

11、_.（用数字作答） 【答案】 【解析】 试题分析：展开式通项为，令，所以的 故答案为 考点：二项式定理 14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，由z2x-y可得y2x+z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数， 截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值 【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域， 由z2x-y可得y2x-z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线 2x-y0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过的交点（2,0）时，z最大，代入 z=2x- - 8 - y=4 故答

12、案为：4 【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础 题. 15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把 p 到准线的距离转化为 p 到焦点的距离，再由抛物线的定义可得 d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值 【详解】解： 抛物线y24x，F（1，0） ，如图： 设p在准线上的射影A，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为 |PA|PF|， 则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|+|PA|AF| 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线

13、定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题. 16.已知锐角的外接圆的半径为 1，则的面积的取值范围为_ 【答案】 【解析】 - 9 - 【分析】 由已知利用正弦定理可以得到b2sinB，c2sin（B） ，利用三角形面积公式，三 角函数恒等变换的应用可求SABCsin（2B ）+ ，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图 象和性质即可得解 【详解】解：锐角ABC的外接圆的半径为 1，A ， 由正弦定理可得：，可得：b2sinB，c2sin（B） ， SABCbcsinA 2sinB2sin（B） sinB（cosB+sinB） sin（2B ）+ ， B，C为锐角，可得

14、： B ， 2B ，可得：sin（2B ）（，1， SABCsin（2B ）+ （1， 故答案为：（1， 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性 质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.已知数列an的前n项和Sn满足 2an=2+Sn （1）求证：数列an是等比数列； （2）设bn=log2a2n+1，求数列bn的前n项和Tn 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可

15、得证； （2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和 【详解】 （1）证明：数列an的前n项和Sn满足 2an=2+Sn， 可得 2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2； - 10 - n2 时，2an-1=2+Sn-1，又 2an=2+Sn， 相减可得 2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an， 即an=2an-1，可得数列an是首项、公比均为 2 的等比数列； （2）由（1）可得an=2n， bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1， 数列bn的前n项和Tn= （3+2n+1）n=n2+2n 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和 公式的运用，考查运算能力，属于基础题 18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽 样调查，得到数据的统计图表如下： 购买意愿市民年龄 不愿意购买该款电冰箱愿意购买该款电冰箱总计 40 岁以上 600800 40 岁以下 400 总计 800 （1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数； （2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民