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1、1/61,重积分,第八章,习题课,一、关于二重积分计算,二、关于三重积分在直角坐标系下计算,三、关于二重积分的应用,2/61,（一）、重积分常见题目类型,1.一般重积分的计算：,a. 选择坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,b. 确定积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,列不等式法 (投影穿线),c. 写出积分限, 累次积分法,d. 计算要简便,充分利用对称性,应用换元公式,一、关于二重积分计算,3/61,2.改变累次积分的积分次序,题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序.,3.求平面图形D 的面积,4.求由曲面所围立体
2、的体积,5.用二重积分求曲面的面积,4/61,6.重积分性质的应用题,（二）、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,4.被积函数为1时巧用其几何意义,5/61,其中函数 、 在区间 上连续.,(三)、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,【X型区域的特点】 穿过区域内部且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1. 【预备知识及二重积分公式推导】,6/61,若积分区域为X型域：,【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.,7/61,即得,公式1,8/
3、61,【几点小结】,a,b,x,9/61,(2)Y型域,【Y型区域的特点】穿过区域内部且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,10/61,公式2,11/61,(3)既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),如图 , 则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,2.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.,12/61,(1) 使用公式1必须是X型域，公式2必须是Y型域.,(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可
4、交换积分次序.,则有,(3) 若积分域较复杂,X-型域或Y-型域.,【说明】,可将它分成若干,13/61,【例1】,【解】,看作X型域,D既是X型域又是Y型域,法1,3、 【利用直角坐标系计算二重积分题类】,14/61,看作Y型域,法2,15/61,【例2】,【解】,D既是X型域又是Y型域,法1,16/61,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,17/61,【例3】,【解】,D是Y型域 也可以视X型域,先求交点,18/61,法1,视为X型域,（计算较繁）,本题进一步说明两种积分 次序的不同计算效果！,法2,（计算简单）,19/61,【例4】,【解】,X
5、-型,20/61,【例5】,【解】,先去掉绝对值符号，如图,21/61,【例6】,【解】,【分析】交换积分次序,若直接计算，积分比较困难！,（注意被积函数）,作业 P152;同济p154,22/61,（四）、利用极坐标系计算二重积分,首先分割区域 D,两组曲线将 D 分割成许多小区域,用,1.极坐标系下二重积分表达式,23/61,将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽）,则 面积元素,扇形弧长,径向宽度,24/61,则,二重积分极坐标表达式,可得下式,【注意】极坐标系下的面积元素为,直角坐标系下的面积元素为,区别,25/61,2.二重积分化为二次积分的公式,区域特征如图,（1）极点O 在区域 D
6、 的边界曲线之外时,26/61,若区域特征如图,特别地,27/61,（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时,区域特征如图,（1）的特例,28/61,区域特征如图,（3）极点 O 在区域 D 的边界曲线之内时,（2）的特例,一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？,29/61,【解】,3、利用极坐标系计算二重积分,30/61,【解】,的原函数不是初等函数 ,故本题无法,【注】1.由于,用直角坐标计算.,31/61,【解】,32/61,【例4】 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,【解】 (1) 利用对称性.,围成 .,33/61,(2) 积分域如图:,将D 分为,添
7、加辅助线,利用对称性 , 得,34/61,【例6】,【解】,作业 P153;同济p155!,35/61,4.【补充】 改变二次积分的积分次序例题,【例1】交换下列积分顺序,【解】 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,36/61,【例2】计算,其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成,【解】,积不出的积分，无法计算。,37/61,【例3】,【解】,38/61,作业 P153; 同济p155!,39/61,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,以下只限于叙述计算方法,1.直角坐标下 2.柱面坐标下 3.球面坐标下,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2
8、. 截面法(切片法) (“先二后一”),先假设连续函数,最后, 推广到一般可积函数的积分计算.,-将三重积分化为三次积分,40/61,方法1 ：投影法【“先一后二”】,如图,z轴,41/61,得,X型域,42/61,【注意】,此式称为先对z、次对y、最后对x的三次积分,得计算公式,（1）,43/61,（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样， 将分割，化为部分区域上的三重积分之和.,（3）也可把投影到yoz面或zox面上，便可 把三重积分化为其它顺序的三次积分.,（要求平行于 x 轴或 y 轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面 S 相交不多于两点）.,44/61,【例1】,【解】,如图,X
9、型域,作直线穿越内部,45/61,故,则,46/61,【解】,得交线投影区域,47/61,【解】,如图,48/61,【例4】,【解】,如图示,49/61,【方法】,截面法(切片法)【 “先二后一”】,【“先二后一”法的一般步骤】,50/61,(?),Dz之面积,作业: 同济P164: 4,5,51/61,1.若积分区域为D,三、关于二重积分的应用,（一）、立体的体积,概念 p138！,52/61,【例1】,【解】,由对称性,其中,Flash 动画演示,2.例题,53/61,例1. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5
10、4/61,【例2】,求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成 的立体的体积V.,【解】,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,55/61,1.设曲面的方程为：,在D上偏导数连续,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 dA 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为曲面S的面积元素),则,（二）、曲面的面积,56/61,故有曲面面积公式,即,2.若光滑曲面方程为,则有,3.若光滑曲面方程为,则有,57/61,【解】,动画演示,58/61,59/61,【例2】计算双曲抛物面,被柱面,【解】 曲面在 xoy 面上投影为,则,所截出的面积 A .,60/61,【解】,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,61/61,【作业 P141例题; 同济p175!】,
