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1、1 第 35 届全国中学生物理竞赛模拟试题 2 全国中学生物理竞赛模拟试题 1 第第 34 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛模拟模拟试题试题 （时间：180 分钟 满分：320 分） 2017/6/8 一、 （40 分）四个等值电阻 R、四个电容值 C=1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图所示。各电池的电压 为 U1=4V，U2=8V，U3=12V，U4=16V，他们的内电阻均可忽略。 （1）求每个电容器的电压和电量； （2）若 H 点与 B 点短路，求电容器 C2上的电量。 解析： （1）将电容器视为断路，电路可等效为如图所示的电路，则电路中的电流为： 41 1
2、 3 4 UUV I RR 取 C 点电势为零，则等效电路图中各点电势为：0 C ， 1 4 GC UV，7 HG IRV，10 EH IRV， 4 6 AE UV，3 BA IRV 考虑到7 H V，则 D 点电势为 3 5 DH UV；考虑到3 B V，则 F 点电势为 2 5 FB UV 则各电容器电压和电量分别为： 1 1 CFG UV， 6 11 10 C QCUC ； 2 5 CEF UV， 6 22 5 10 C QCUC 3 5 CCD UV， 6 33 5 10 C QCUC ； 4 1 CDA UV， 6 44 10 C QCUC （2）将 B、H 短路后电路如图所示，此时
3、流过 U1的电流为 1 1 2 2 UV I RR ，流过 U4的电流为 4 4 8 2 UV I RR 则 1 2 BC I RV ， 24 10 EB I R UV， 2 10 FB UV 则电容器 C2两端电压为 2 0 CEF U，故带电量也为零，即 2 0Q 二、 （40 分）在半径 R=2m、孔径 d=10cm 的凹面镜的焦点位置上，垂直于其对称轴（主光轴）放一块圆形屏幕，使平行于轴的所 有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕，试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅有原来的 1/8， 试问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上？ 解析： （1）考察入射点为
4、P 的光线，反射光线交主轴与 A 点，光路如下图所示，O 为球面圆心，F 为焦点 U1 U4 R R R A B C E G H R U1 U4 R R R A B C E G H R I1 I4 U1 U2 U3 U4 R R R R C1 C2 C3 C4 A B C D E F G H 35 全国中学生物理竞赛模拟试题 2 则 OPA 为等腰三角形，有： 2cos2cos OPR OA ，随入射角 增大，反射光线与主轴焦点离焦点 F 越远，光线越接近圆形屏幕 边缘，则入射角满足sin 2 d R 的光线即为边界光线 此时有：sin0.025 2 d R ， 2 cos1 sin0.999
5、68745， 2 2sin cos tan(2 )0.05004693 2cos1 则圆形屏幕的直径为： 5 2( cos)tan(2 )(2cos1)tan(2 )3.13 10 22 Rd DRRdm （2）设变化之后的屏幕直径为 8 D D ，能到达屏幕的光直径为 d，则有： (2cos1)tan(2 ) (2cos1)tan(2 ) 8 Rd Rd 考虑到sin 2 d R ，则有：2 sindR则上式变换为： 6 (2cos1)tan(2 )2sin1.956 10 将 2 cos1 sin， 2 22 2sincos2sin1sin tan(2 ) 12sin12sin 代入上式可
6、化简为： 2 6 2 2sin(11sin) 1.956 10 12sin 解上式可得：sin0.0125 2 d R ，即：0.05dm 则能到达屏幕的光占总入射光的比例为： 2 1 () 4 Sd Sd ，即有 1/4 的光能到达圆形屏幕。 三、 （48 分）在 xOy 平面内分布着某种透明光学材料，已知折射率 n=n(r)，r 为点到原点的距离，在距离原点 r0处的 A 点有一点光 源，若从此光源发出的光在材料中沿着以原点 O 为焦点的圆锥曲线传播，已知该圆锥曲线的离心率为 e，焦准距为 p，试求折射率 的分布规律 n(r)，已知 n(r0)=n0. 解析：考察相邻的两微元薄层间的折射如
7、图所示，由折射定律得： 112 sinsinnn，由正弦定理得： 2 21 sinsin rr 不难看出，光线刚进入球体后在各层上满足：sinnr定值 考虑到sinnr定值，可类比角动量守恒，即 n 类比动量 p=mv 则光线路径可视为质量为 m 的粒子的轨迹，O 即为有心力的力心，则粒子的动能为： 2 2 k n E m 考虑有心力为引力和斥力的两种情况，若为引力则粒子的势能可表示为： p k E r 当 e1 时，圆锥曲线为双曲线，设其实长轴为 A，则有初始条件可知总能量为： 2 0 0 22 nkk mrA ，解上式可得： 2 00 0 (2) Ar n k mAr 则其任意状态的总能量
8、势能可表示为： 222 0000 00 2(2)2 (2) nAr nr n mmAr rmAr ，解上式可得： 22 0 0 0 (2) (2) Ar r nn Ar r 考虑到其半长轴为 2 1 ep A e ，则上式可变换为： 2 0 22 0 2 0 2(1) 2(1) eprer nn eprer 当 e=1 时，圆锥曲线为双曲线，设其实长轴为 A，则有初始条件可知总能量为： 2 0 0 0 2 nk mr ，解上式可得： 2 00 2 r n k m 则其任意状态的总能量势能可表示为： 22 00 0 22 nr n mmr ，解上式可得： 220 0 r nn r 若为斥力则粒子
9、的势能可表示为： p k E r ，此时圆锥曲线必定为双曲线 总能量为： 2 0 0 22 nkk mrA ，解上式可得： 2 00 0 (2 ) Ar n k m rA 则其任意状态的总能量势能可表示为： 222 0000 00 2(2 )2 (2 ) nAr nr n mm rA rm rA ，解上式可得： 22 0 0 0 (2 ) (2 ) rA r nn rA r 考虑到其半长轴为 2 1 ep A e ，则上式可变换为： 2 0 22 0 2 0 2(1) 2(1) eprer nn eprer 四、 （40 分）频率为 0的光子具有惯性质量 m，此质量由光子的能量决定。在此假定光
10、子的引力质量等于惯性质量，从一颗星球向 外发射光子逃逸引力时，便会损失能量。已知 e H 的静质量为 m0满足2 0 3752m cMeV，玻尔能级为 2 2 13.6 n Z EeV n ，确定下列问 题： （1）初始时频率为 0的光子从质量为 M、半径为 R 的星球表面到达无穷远时，它的频率增量为 ，则当 0 时： 2 0.01cos(200)0.01cos(200) 4 A ytxtx ；x44 时： 2 0.01cos 200(44)0.01cos 200(44)0.01cos 200(48) 44 B ytxtxtx x44 时，B、A 两列波的相位差为： 1 (48)()12 44
11、 xx ，两列波叠加后加强，不符合题意； 当 x0 时，B、A 两列波的相位差为： 2 (40)10 44 xx ，两列波叠加后加强，不符合题意； 当 0x44 时，B、A 两列波的相位差为： 3 (40)()10 442 xxx 令 3 10(21) 2 xk 可解得：422xk 考虑到 k 取整数且 0x44，可知 x=2m、6m、10m、14m、18m、22m、26m、30m、34m、38m、42m 处的点静止。 六、 （32 分）有一均匀的长为 l 的麦秆，开始处于水平位置，中点被支撑着，它可以绕轴在竖直平面内自由转动，不计空气阻力和 轴上阻力。有一蜘蛛以竖直向下的速度 v0落下，并且
12、落在麦秆中心和端点之间的中点处。蜘蛛的质量与麦秆的质量相等，当蜘蛛停 落于麦秆后，立刻沿麦秆向端点爬行，使麦秆的转动角速度保持不变，试求 v0的最小值。假定麦秆转到竖直位置时，蜘蛛离开麦秆 落下，试画出蜘蛛在空间的爬行路线。 解析：设麦秆和蜘蛛的质量均为 m，麦秆转动角速度为 则碰撞前后瞬间角动量守恒有： 22 0 1 ( ) 4124 ll mvmlm，可解得： 0 12 7 v l 设 t 时刻蜘蛛距离麦秆中心为 x，则有转动定理可知：MdtdJ 考虑到角动量为JI，且 保持不变，则有： 2 ()2dJdId mxm xdx x A B 全国中学生物理竞赛模拟试题 5 将力矩cosMmgx
13、t代入可知：cos2mgxtdtm xdx，可化简为： 2 cos tdtdx g 两边同时积分： 0 4 2 cos tx l tdtdx g ，可得： 2sin 42 lg xt 图像如图所示： 由题意可知，在竖直位置即 2 t 时有： 2 l x ，即 2 422 lgl ，将 0 12 7 v l 代入上式可得： 0 7 62 gl v 七、 （48 分）如图所示，在竖直放置的气缸内有一质量为 M 的活塞，活塞面积为 S，在活塞上放一质量为 m 的物体，活塞与气缸间 无摩擦，大气压强为 P0，平衡时活塞到底部的距离为 l，今将活塞下压一定距离 d 后释放，认为气体的状态变化为等温变化，
14、且认 为 dl，在活塞的上升过程中物体与活塞分离，分离后物体竖直上抛，活塞上下振动。求物体与活塞分离后上升的高度及物体与活 塞分离后活塞的振动振幅。 解析：设气体初态压强为 P1，体积为 1 VSl，有初态活塞受力平衡可知： 01 ()PSMm gPS，可得： 10 ()Mm g PP S 设活塞上升 h 距离后（此时物体未与活塞分离） ，气体压强为 P2，此时气体体积为 2 ()VS ldh 由玻意耳定律可知： 1 122 PVPV，可解得： 21 l PP ldh 考虑到dl，hl，则上式可近似为： 2110 () (1)(1) ldhdhMm g PPPP ldhllS 以活塞和物体整体为研究对象，其所受合外力为： 200 ()()() dh FPP SMm gPSMm g l 由动量定理可知：()FdtMm dv，将 dh dt v 代入上式可得： 0 ()() dh PSMm gdhMm vdv l 两边积分可得： 2 0 () (2) () PSMm g
