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1、解：根据德布罗意关系式，得,动量为,1. 波长 为的X光光子的动量和能量各为多少？,能量为,2.经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？,解：由德布罗意波长与加速电压之间的关系,对于电子,对于质子,虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系,证明：德布罗意波长,3.电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来 的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为： 其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。,而被电压V加速的电子的动能为,4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，
2、同样适用于椭圆轨道，试证明之,证明,对氢原子圆轨道来,所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：,其中,而,5.带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？,解：根据测不准原理,经典力学的动量为,6.证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值,证明：自由粒子的波函数为,代入薛定谔方程，得,自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有任意的连续值,7.粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。 即：0 L 时 V = V0。 （1）
3、 试推导粒子在 E V0 情况下 总能量 E 满足的关系式。 （2）利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量 E 只能取 一些不连续的值,解：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维持原坐标不变；另一种为将横坐标向右平移L/2，即取 x = x L/2，在这个坐标系中，L/2 x L/2 时 V=0、在其它区间 V =V0 （1）E 满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是定态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形式,设,利用波函数的有界性知道： x L 时，A = 0 。 因此 x L 时，u = B ekx,在 0 x L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中,设,
4、在 0 x L 区域，V = 0。代入 薛定谔方程中,由定态薛定谔方程解得的波函数为： x L， u3 = Bekx B 待定,波函数的连续性 要求： x = 0 处，u1 = u2 ； du1/dx = du2/dx x = L 处，u2 = u3 ； du2/dx = du3/dx 将上述连续性条件应用于波函数 得,A = C sin Ak = C cos B ekL = C sin(L+) B k ekL = C cos(L+) 进一步推导 tan = / k tan(L+）= / k 由 tan = / k 0，得 0 /2、和 3/2 2 由 tan (L+) = tan () 得,
5、L+ = n 即 = n/2 L/2 =,n = 1, 2, 3, ,又由tan = / k 得,因此能量 E 满足的关系式为,n=1,2,3,N1,或,n= 3,4,5,N2,其中,(2) 图解法说明 能量取值的不连续性,设,其中,则能量E 的解可通过 f2 与f1 的交点、与f3 的交点的横坐标求出,做各函数曲线如上图所示。从f2 函数 与 f1 及f3 函数的交点的横坐标可求出能量E的解。解的个数与 0 x 1区间内交点的个数相等，而交点的个数决定于f2 函数的斜率。斜率越大，交点个数越多。当 L 和 m 很大时，交点的横坐标数值趋于连续，对应宏观现象。当二者不是很大时，交点的横坐标数值是不连续的，也就是说能量E的取值是不连续的。,解：由题意知,8.有一粒子，其质量为m,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a,b,c,在势箱外，势能 ；在势箱内， 。试计算出粒子可能具有的能量,势箱内波函数满足方程,分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程,并将两边同除以 ，得,连续条件,同样，有,可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和,
