相关与一元线性回归

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1、1,第八章 相关与一元回归分析,8.1 变量间关系的度量 8.2 一元线性回归 8.3 利用回归方程进行估计和预测,2,学习内容,1.相关系数的分析方法 线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计和预测,3,8.1 变量间关系的度量,变量间的关系 相关关系的描述与测度,4,一. 变量间的关系函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是 x的函数，记为y =f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量 各观测点落在一条线上,5,函数关

2、系(几个例子), 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产量消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,6,相关关系(correlation),变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,7,相关关系(几个例子), 相关关系的例子 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)

3、之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系,8,相关关系(类型),9,散点图(scatter diagram),10,散点图(例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增加，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的2

4、5家分行2002年的有关业务数据,11,散点图(例题分析),12,散点图(例题分析),13,相关系数(correlation coefficient),对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,14,相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,15,相关系数协方差,协方差为正值时，表示正线性相关关系。,16,协方差为负值时，表示负线性相关关系。,相关系数协方差,17,协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。,相关系数协方差,18,协

5、方差(covariance)：两个变量与其均值离差乘积的平均数，是相互关系的一种度量。,总体协方差：,样本协方差：,相关系数协方差,19,协方差为大的正值时，表示强的正线性相关关系。,协方差接近于零时，表示很小，没有线性相关关系。,协方差为大的负值时，表示强的负线性相关关系。,协方差,相关系数协方差,20,cm,kg,mm,kg,大于,基本结论：协方差受计量单位影响，从而不能真实反映相关的程度。,相关系数协方差,21,相关系数（correlation coefficient）:协方差与两变量标准差乘积的比值，是没有量纲的、标准化的协方差。,总体相关系数,样本相关系数,相关系数协方差,22,相关

6、系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,23,相关系数(取值及其意义),r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r = -1，为完全负相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,24,相关系数(取值及其意义),r,25,相关系数的性质,性质1：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质2：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质3：仅仅是x与y之间线性关系

7、的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意味着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系 性质4：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,26,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,27,相关系数(例题分析),28,8.2 一元线性回归,一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检

8、验,29,什么是回归分析？(Regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,30,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相

9、关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,31,回归模型的类型,32,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示,33,回归模型(regression model),回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量

10、 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,34,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,35,一元线性回归模型(基本假定),误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的

11、x值，y的期望值为 E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的x值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即-N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的与其他x值所对应的不相关 对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关,36,回归方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为

12、回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,37,估计的回归方程(estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为:,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,38,最小二乘估计,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,39,最小二乘估计(图示),40,最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得

13、求解 和 的公式如下,41,最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下,42,估计方程的求法(例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,43,估计方程的求法(例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,44,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对

14、一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,45,变差的分解(图示),46,离差平方和的分解 (三个平方和的关系),47,离差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,48,判定系数r2(coefficient of determination)

15、,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0,1之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即R2(r)2,49,判定系数R2 (例题分析),【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,50,估计标准误差(standard

16、error of estimate),实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,51,线性关系检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1),52,线性关系检验 (检验的步骤),提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若