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1、正四面体外接球和内切球的半径的求法 曲阜师范大学附中 273165 李凤华 题 已知正四面体ABCD的棱长为 a,求其外接球的 半径 R 和内切球的半径 r . 图 1 分析 如图 1,因为正四面体 ABCD的外接球的球心 O到点B, C, D 的距离相等, 所以 O在平面 BCD 内的射影 O1到点 B, C,D 的距离也 相等. 又因为在正四面体 ABCD 中 vBCD 是正三角形, 所以 O1是 vBCD 的中心, 进而在正四面体 ABCD 中, 有 AO1L 平面 BCD, 所以 球心 O在高线AO1上; 同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体 ABCD 中各面上的高都相等, 所
2、以, 由 OA = OB = OC = OD, 得: 点 O到正四面体各面的距离相等,所 以点 O也是正四面体 ABCD的内切球的球心. 这样, 正四 面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体 ABCD 的高为 h, 则 r+ R = h = 6 3 a. 因此,只要求出 r和 R中的一个, 便可求出另一个. 图 2 解法 1 (方程思想 )如图 2, 因为在正四面体 ABCD 中, vBCD 是正三角形, O1是其中心, 所以 O1D = 3 3 a. 因为OO1L 平面BCD, O1D 平面BCD,所以OO1L O1D. 所以, 在 RtvOO1D 中, 由勾股定理, 得 OD
3、2 = OO 2 1+ O1D 2, 即 R2 = 6 3 a - R 2 + 3 3 a 2 1 解得 R = 6 4 a, 所以 r = 6 3 a- R = 6 12a. 故所求的外 接球的半径和内切球的半径分别为 6 4 a和 6 12a. 图 3 解法 2 (几何法 )如图 3, 连 接 DO并延长交平面 ABC 于点 G, 则 G为 vABC 的中心. 连结DO1并延长交BC于中点 E, 则 A, G, E 三点共线, EO1 ED = 1 3 = EG EA;再连接 GO1, 则 GO1 MAD, 从而有O 1O AO = O1G AD = EG EA = 1 3,所以AO =
4、3 4AO1 = 6 4 a, OO1= 1 4AO1 = 6 12a1 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 6 4 a 和 6 12a1 知识联系: 正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心 重合,半径之比为 1 B2; 正四面体的内切球的球心与外接 球的球心重合, 半径之比 1 B3 . 图 4 解法 3 (体积法 ) 如图 4 , 记 正四面体 ABCD 的体积为 V, 每个 面的面积为 S, 高为 h, 内切球球心 为 O, 连结 OA, OB, OC, OD, 则 V = VOABC+ VOBCD+ VOC DA+ VODAB, 所以 1 3Sh = 4# 1 3 Sr,从而 r=
5、 1 4 h = 6 12a, R = 3 4 h = 6 4 a1故所求的外接球的半径和内 切球的半径分别为 6 4 a和 6 12a1 方法拓展应用: 1. 多面体的体积为 V, 表面积为 S, 利用体积分割法, 可得其内切球的半径为 r = 3V S ; 2. 高为 h,各面面积均为 S的棱锥内的任意一点到各 面的距离之和为定值 h. 解法 4 (补形法 )以正四面体的各棱为正方体的面 对角线, 将其补形为正方体. 由于过不共面的四点有且只 有一个球, 所以正四面体的外接球也是正方体的外接球. 设正方体的棱长为 x, 则 2R =3x且 a =2x, 所以 R = 6 4 a,从而 r=
6、 1 3R = 6 12a. 故所求的外接球的半径和内切 球的半径分别为 6 4 a和 6 12a1 解后反思: 由此解法知, 正方体的内切球也是与正四 面体的各棱都相切的球, 易得正方体的内切球的半径为 1 2x = 2 4 a, 所以, 与正四面体的各棱都相切的球的半径为 2 4 a. 30 ZHONGXUESHUXUEZHAZHI 中学数学杂志 2008年第 1期 添 / 10法妙求 / A a + x + B b- x 0型最值 北京建工学院 100044 孙瑜蔓 中央民大附中 100081 孙 猛 我们常用到/ y = A a + x + B b - x0型最值, 我们 只 要 妙
7、添 / 10,然 后 将 / 10 变 形 为1 = (a + x ) + (b - x) a + b 即可求出这一类最值, 程序如 下: y = 1# A a + x + B b - x = (a+ x) + ( b - x) a + b # A a + x + B b - x = 1 a + b A + B + A (b - x) a + x + B (a + x ) b- x 1 a + b(A + B + 2 AB ) = ( A +B ) 2 a + b 现举例说明如下: 例 1 求函数 y = 4 cos 2x+ 9 sin 2x的最小值 分析 利用 1 = cos 2x + si
8、n2x 添/ 10 解 y = 1# 4 cos 2x+ 9 sin 2x = ( cos 2x + sin2x)4 cos 2x+ 9 sin 2x = 13+ 4tan 2x + 9cot2x 13+ 2# 2tanx# 3cotx = 25 故最小值为 25 , 当且仅当 4tan 2x = 9cot2x. 即 tan 2x =3 2 时取得 1 例 2 求函数 y = A a+ bx + B c- dx (a, b, c, d, A, B IR +, 0 x c d ) 的最小值 分析 提出因子 b, d, 化成标准型, 再添/ 10 方法拓展: 1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外
9、接球也是以 这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球, 若设其三条侧棱长分别为 a, b, c, 则易得外接球的半径为 1 2 a 2 + b 2 + c 2; 2.若点 P 到两两垂直的三个面的距离分别为 a, b, c, 点 O为它们的公共点,则 PO =a 2 + b 2 + c 2; 3.若点 P 到两两垂直且共点于 O 的三条直线 m, n, l 的距离分别为 x, y, z , 则 PO = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 . (2和 3 的证明由读者自己完成. ) 解法 5 (坐标法 )如图 5,建立如图所示的空间直角 坐标系, 则 A(0, 0, 6 3 a
10、) B(0, - 3 3 a, 0) C( 1 2 a, 3 6 a, 0) D (- 1 2 a, 3 6 a, 0) 设球心 O的坐标为 (x, y, z),则由 图 5 | OA | = | OB | = | OC | = | OD | = R,得 | OA | 2 = | OB | 2 = | OC | 2 = | OD | 2,即 x2+ y2+ (z- 6 3 a)2= x2+ (y + 3 3 a) 2 + z 2 = (x- 1 2 a) 2 + (y- 3 6 a) 2+ z2 = (x + 1 2 a) 2 + (y- 3 6 a) 2 + z21解得 x = y = 0, z = 6 12a. 所以 r = z = 6 12a, R = 6 4 a. 故所求的外接球的半径 和内切球的半径分别为 6 4 a和 6 12a1 说明 解法 5中不需证明球心在高线上,避免了严格 的逻辑论证, 从而降低了思维难度, 但对运算能力提出了 较高要求. 31 中学数学杂志 2008年第 1期 ZHONGXUESHUXUEZHAZHI
