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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计( (理工类理工类 第四版第四版) ) 吴赣昌吴赣昌 主编主编 课后习题答案课后习题答案 鹤鹤答案工作室鹤鹤答案工作室 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 随机事件随机事件 习题习题 1 试说明随机试验应具有的三个特点 习题习题 2 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A，B，C 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同 一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件 A，B，C 中的样本点. 1.2 随机事件的概率随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.4 条件概率条件概率 1.5 事件的独立性事件的独立性 复习总结与总习题解
2、答复习总结与总习题解答 习题 3. 证明下列等式： 习题 5. 习题 6. 习题 7 习题 8 习题 9 习题 10 习题 11 习题 12 习题 13 习题 14 习题 15 习题 16 习题 17 习题 18 习题 19 习题 20 习题 21 习题 22 习题 23 习题 24 习题 25 习题 26 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 2.1 随机变量随机变量 习题习题 1 1 随机变量的特征是什么？ 解答：解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. 随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. 随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题习题 2 2
3、试述随机变量的分类. 解答：解答：若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型 随机变量.若 X 的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称 X 为连续型随机变量. 习题习题 3 3 盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2,9, 从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定 值的概率. 解答：解答：分别用 1,2,3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间 S=1,2,3, 定义随机变量 X
4、如下： X=X()=0,=11,=2,2,=3 则 X 取每个值的概率为 PX=0=P取出球的号码小于 5=5/10, PX=1=P取出球的号码等于 5=1/10, PX=2=P取出球的号码大于 5=4/10. 2.2 2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 习题习题 1 1 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 . 解答：解答：由 PX=1=PX=2, 得 e-=2/2e-,解得 =2. 习题习题 2 2 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5, 试求(1)P123. 解解答：答：(1)P123=PX=4+P
5、X=5=415+515=35. 习题习题 3 3 已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定常数 c, 并计算 PX60, 即 PX20, PX20=PX=30+PX=40=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6. 习题习题 6 6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代 表在两次调整之间生产的合格品数，试求： (1)X 的概率分布； (2)PX5; (3)在两次调整之间能以 0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答：
6、解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,; (2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5; (3)设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m 件，则 m 应满足 PXm=0.6,即 PXm-1=0.4. 由于 PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得 m4.855, 因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5. 习题习题 7 7 设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答：解答：此运动员一次
7、投篮的投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1. X=0 表示未投中，其概率为 p1=PX=0=1-0.6=0.4, X=1 表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6. 则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题习题 8 8 某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中次品的概率分布. 解答：解答： 设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为 PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120, PX=2=C71C32
8、C103=21120, PX=3=C33C103=1120. X 的分布律为 X 0123 P 3512036120211201120 习题习题 9 9 一批产品共 10 件，其中有 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去， 求直至取到正品为止所需次数 X 的概率分布. 解答：解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所 以 X 的可能取值是所有正整数 1,2,k,. 设第 k 次才取到正品(前 k-1 次都取到次品), 则随机变量 X 的分布律为 PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,
9、2,. 习题习题 1010 设随机变量 Xb(2,p),Yb(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1. 解答：解答：因为 Xb(2,p), PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以 p=1/3. 因为 Yb(3,p), 所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27. 习题习题 1111 纺织厂女工照顾 800 个纺绽，每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间 内断头次数不大于 2 的概率. 解答：解答：以 X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为： P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(
10、k;800,0.005) k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381. 习题习题 1212 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答：解答：becausePX=1=PX=2, 即 11!e-=22!e-=2, PX=0=e-2, p=(e-2)4=e-8. 2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 习题习题 1 1F(X)=0,x0.5,P1.70.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P1.700,x0,
11、试求：(1)A,B 的值；(2)P-100,x0. 习题习题 4 4 服从拉普拉斯分布的随机变量 X 的概率密度 f(x)=Ae-x, 求系数 A 及分布函数 F(x). 解答：解答：由概率密度函数的性质知，-+f(x)dx=1, 即 -+Ae-xdx=1, 而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx =Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A 或 -+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2. 从而 f(x)=12e-x,-150=150+f(x)dx=150+100x2dx =-100x150+=100150=23, 从而三
12、个电子管在使用 150 小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27. 习题习题 6 6 设一个汽车站上，某路公共汽车每 5 分钟有一辆车到达，设乘客在 5 分钟内任一时间到达是等可能 的，试计算在车站候车的 10 位乘客中只有 1 位等待时间超过 4 分钟的概率. 解答：解答：设 X 为每位乘客的候车时间，则 X 服从0,5上的均匀分布. 设 Y 表示车站上 10 位乘客中等待时间 超过 4 分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是 10 重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数 n=10,p=PX4=15=0.2, 所以 PY=1=C1010.20.890.268. 习题
13、习题 7 7 设 XN(3,22).(1)确定 C, 使得 PXc=PXc;(2)设 d 满足 PXd0.9, 问 d 至多为多少? 解答：解答：因为 XN(3,22), 所以 X-32=ZN(0,1). (1)欲使 PXc=PXc, 必有 1-PXc=PXc, 即 PXc=1/2, 亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0, 故 c=3. (2)由 PXd0.9 可得 1-PXd0.9, 即 PXd0.1. 于是 (d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得 3-d21.282, 所以 d0.436. 习题习题 8 8 设测量误差 XN(0,102), 先进行 100 次独立测量，求
14、误差的绝对值超过 19.6 的次数不小于 3 的概率. 解答：解答：先求任意误差的绝对值超过 19.6 的概率 p, p=PX19.6=1-PX19.6 =1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96) =1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05. 设 Y 为 100 次测量中误差绝对值超过 19.6 的次数，则 Yb(100,0.05). 因为 n 很大，p 很小，可用泊松分布近似，np=5=, 所以 PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87. 习题习题 9 9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额
15、作出规定. 根据以往记录，各工人每月 装配产品数服从正态分布 N(4000,3600).假定车间主任希望 10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多 少件产品才能获奖？ 解答：解答：用 X 表示工人每月需装配的产品数，则 XN(4000,3600). 设工人每月需完成 x 件产品才能获奖，依题意得 PXx=0.1, 即 1-PXx0.005. 解答：解答：已知血压 XN(110,122). (1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372, P100x0.05, 求 x, 即 1-PXx0.05, 亦即 (x-11012)0.95, 查表得 x-100121.645, 从而 x129.74. 习题习题 1111 设某城市男子身高 XN(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小 于 0.0
