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1、1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?,探索研究 解决这个问题需分2个步骤：,第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；,第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法;,根据分步计数原理，共有32=6种不同的方法.,甲 乙 甲 丙,乙 甲 乙 丙,丙 甲 丙 乙,相应的排法:,课前练习：,2.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析1：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 1个,2个,3个,4个,5个
2、,6个,7 个,8 个.则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).,分析2：按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个).,3:一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多 少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？ 首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？,分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成; 第一
3、步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种,答:首位数字不为0的密码数是 N =91010 = 9102种, 首位数字是0的密码数是 N = 11010 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。,问: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？,答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。,20班探究题: (1)有5把钥匙,只有2把能打开门,现随机拿钥匙依次开门,开一把扔掉一把,则只到第三次才把门找开的概率
4、是多少? (2)一醉汉有5把钥匙,只有2把能打开门,现随机拿钥匙依次开门,开一把后又放回,则只到第三次才把门找开的概率是多少?,例1:某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中有7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？,解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，既会钢琴又会小号的有1人(可把该人称为多面手)因此，选出会钢琴与会小号的各1人可分两类：,第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中选1人，有6种选法；第二步从只会小号的2人中选1人，有2种选法，因此，共有62=12(种).,第二类：选多面手，分2步：第一
5、步从多面手中选，有1种选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有18=8(种).,故共有12+8=20(种).,点评：此题不是简单的分类或分步就可完成既要分类又要分步，一般是先分类然后再在每一类中分步，综合运用分类计数原理和分步计数原理，体会“特殊元素优先”法。,例2:如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？,（染色问题）,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 =
6、1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,二、练习：,1、将5封信投入3个邮筒，则有 种不同投法(用数字作答) 2、已知集合 从A、B中各取一个元素作为点的坐标，在第一、二象限中的不同点的个数是( ),A . 8 B . 12 C . 14 D . 16,3、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种植物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，问不同的种植方法共有几种？,243,C,分三类：N=6+4+2=12（种）,拓展性练习：,1、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同插
7、法的种数是( ),A . 336 B . 120 C . 24 D . 16,2、将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种.,3、数字允许重复的三位偶数有多少个？,4、在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中， 与正八边形有公共边的三角形有多少个？,A,N=9105=450（个）,N=48+8=40（个）,48,四、小结：,较复杂的分步问题，后面的步骤可能要受前面步骤的制约； 解决一个较复杂问题，可能要综合分类与分步，一般是先分类，再在每一类中考虑分类与分步； 对于有“特殊元素”的问题，分类和分步时一般可从特殊元素出发考虑，即“
8、特殊优先原则”； 科学、规范、有序的思维方法的培养从正确书写解题过程开始！,排列与排列数公式(1),1、理解排列的概念; 2、学会判断某些问题是排列问题。,学习目标:,问题引入：,问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?,探索研究 解决这个问题需分2个步骤：,第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法；,第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法;,根据分步计数原理，共有32=6种不同的方法.,甲 乙 甲 丙,乙 甲 乙 丙,丙 甲 丙 乙,相应的排法:,我们把上面问题中
9、被选的对象 (同学）叫做元素。,上述问题就是从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。,不同的排列为: ab，ac，ba，bc，ca，cb,问题2:从a、b、c、d这4个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？,解决这个问题，需分3个步骤：,第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；,第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；,第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法.,根据分步计数原理，共有432=24种不同的排法,b,a,c,d,不同排法如下图所示:,所有的排列为
10、：,abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb,我们把上面问题中被取的对象 （字母）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从4个不同的元素a、b、 c、d中任取3个，然后按一定的顺 序排成一列，求一共有多少种不同 的排列方法。,定义: 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。,知识新授：,排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排
11、列”. “一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志,注 意： 1、我们研究的排列问题中，不能有重复元素的排列，也不能重复抽取相同的元素；,4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用上面两题中的方法“树形图”.,2、两个排列相同的充要条件是什么？,1）元素全相同,2）元素排列顺序也完全相同,3、概念中，如果mn，这样的排列只是选一部分元素作排列，叫做选排列；如果m=n，这样的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列；,例1:判断下列几个问题是不是排列问题?,从班级5名团员中选出3人参加下午的团委会；从2、3、5、7、11中任取两个数相乘； 从2、3、5、7、1
12、1中任取两个数相除； 20位同学互通话一次； 20位同学互通一封信； 以圆上的10个点为端点作弦； 以圆上的10个点为起点，且过另一点的射线.,例题讲解：,是排列问题的有： 、,例2:在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出正、副班长各一人，共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果.,解：选举过程可以分为两个步骤： 第一步，先选出正班长，4人中任何一人都可能当选，有4种选法； 第二步，选出副班长，余下3人中任何一人都可能当选，有3种选法. 根据分步计数原理，不同选法共有：43=12(种). 其选举结果是：,甲乙 甲丙 甲丁 乙甲 乙丙 乙丁 丙甲 丙乙 丙丁 丁甲 丁乙 丁丙,课堂练习：,1:下
13、列问题中属于排列问题的是 . 有10个车站，共需准备多少种车票？ 有10个车站，共有多少种不同的票价？ 平面内有10个点，共可作多少条射线？ 10个同学，每两人互通信一次，通信多少次？ 从10名学生中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方案？,、,2:北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？,不同排法如下图所示:,3: 下列问题是排列问题吗？,（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐
14、标？ （4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？,是排列,不是排列,是排列,是排列,不是排列,是排列,课堂小结：,1、从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 2、当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同时称两个排列相同； 3、解题时要深挖具体题目中的“有序”条件.,知识新授2：,1、排列数的定义:,从n个不同的元素中取出m（mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 用符号 表示,问题1:求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数. 记为,问题2:求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数. 记为,排列和排列数的不同 :,“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m个元素的所有排列的个数，是一个数 .,思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排列 数 是多少？ 呢？,假定有排好顺序的2个空位，从n个不同元素a1，a2，,an中任意取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。就是说“一个排列”
