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1、2019/5/14,1,第十一章 广义积分 （反常积分）,引例 自地面垂直向上发射火箭，火箭质量 为 m，试计算将火箭发射到超出地球的引力范围时, 克服地球引力所作的功，并由此计算初速度至少为 多少才可使火箭超出地球的引力范围？,1 无穷区间上的广义积分,2019/5/14,2,分析：取坐标系如图，设地球半径为R，质量为M，火箭质量为m,与地心的距离为x, 根据万有引力 定律，火箭所受地球引力为：,R,x,当 x = R 时，引力 = 重力,2019/5/14,3,火箭在距离球心 处所受地球引力为：,R,x,dW,推力克服地球引力作功，推力 = 引力，,2019/5/14,4,火箭到达离地面高
2、h时，所作的功,R,x,2019/5/14,5,动能,克服引力作功,无穷限的广义积分,2019/5/14,6,一、无穷限的广义积分,问: f(x)在 (- b上的反常积分如何计算？,2019/5/14,7,2019/5/14,8,2019/5/14,9,若记：,2019/5/14,10,例1 计算广义积分,解,2019/5/14,11,例2 计算广义积分,解,2019/5/14,12,证,p0时,是 指数衰减函数,2019/5/14,13,证,2019/5/14,14,2 无界函数的广义积分,瑕点,问: f(x)在a, b)上的反常积分如何计算？,2019/5/14,15,2019/5/14,
3、16,定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.,2019/5/14,17,例5 计算广义积分,解,2019/5/14,18,证,2019/5/14,19,问：,是否正确？,解,2019/5/14,20,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,2019/5/14,21,例8 计算广义积分,解,瑕点,2019/5/14,22,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,2019/5/14,23,例9,解,(1),2019/5/14,24,(2),2019/5/14,25,1. 无穷限的广义积分,四、小结,2019/5/14,26,2. 无界函数的广义积分（瑕
4、积分）,注意：不能忽略内部的瑕点!,2019/5/14,27,练 习 题,2019/5/14,28,2019/5/14,29,2019/5/14,30,练习题答案,2019/5/14,31,第三节 无穷积分的性质和收敛判别,2019/5/14,32,一、 无穷积分收敛的判别法,. 柯西准则,P54, P38,2019/5/14,33,二、 无穷积分的性质,性质,性质,2019/5/14,34,性质3,性质4,2019/5/14,35,2019/5/14,36,2019/5/14,37,证：,2019/5/14,38,性质5,注,性质5说明绝对收敛的积分自身一定收敛但自身收敛的积分不一定绝对收敛
5、,我们称收敛而不绝对收敛为条件收敛,2019/5/14,39,. 比较原则,2019/5/14,40,. 比较原则,证：a,2019/5/14,41,推论 1 (比较判别法的极限形式),2019/5/14,42,推论1、2称为 柯西判别法,推论 3,推论 2,2019/5/14,43,解：,例1. 讨论 收敛性.,根据比较原则,2019/5/14,44,例2. 讨论下列无穷积分的收敛性，,解(1)：,根据柯西判别法,解()：,根据柯西判别法,2019/5/14,45,例3,解,根据比较原则，,2019/5/14,46,例4,解,根据极限判别法，所给广义积分发散,例5,解,根据极限判别法，所给广
6、义积分发散,2019/5/14,47,证,即,收敛.,2019/5/14,48,例,解,所以所给广义积分收敛.,2019/5/14,49,第四节 瑕积分的性质与收敛判别,瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .,Cauchy 收敛原理,2019/5/14,50,一. 瑕积分的性质,性质,性质,2019/5/14,51,性质,注,性质说明绝对收敛的积分自身一定收敛但自身收敛的积分,不一定绝对收敛,我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛,2019/5/14,52,二. 瑕积分收敛判别法,，柯西准则,2019/5/14,53,，比较原则,推论,2019/5/14,54,，柯西判别法,推论,2019/5/14,55,Abel 判别法,例1,2019/5/14,56,狄利克雷判别法,2019/5/14,57,A-D 判别法,2019/5/14,58,例1,解,由洛必达法则知,根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.,2019/5/14,59,例2,解,根据比较判别法,2019/5/14,60,特点:,1.积分区间为无穷;,2019/5/14,61,2019/5/14,62,函数的几个重要性质：,2019/5/14,63,三. 小结,一. 瑕积分的性质,二. 暇积分收敛的判别法,，柯西准则,，比较原则,，柯西判别法,，狄利克雷判别法,，阿贝尔判别法,
