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1、第一章 函数的极限与连续,第一节 函数及其性质,第二节 极限,第三节 函数的连续性,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,2,在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .,它们的关系有,函数值不存在，极限存在；,函数值,极限值都存在,但不相等；,函数值等于极限值.,3,增量：,终值与初值的差,自变量在x0处的增量：,函数y在点x0处相应的增量：,一、 函数的连续性,（一）函数y=f (x) 在点 处的连续性,1.增量,4,x虽然称为增量，但是其值可正可负.,例如，当 x x0 时， x = x - x0 0,当 x x0 时， x = x
2、 - x0 0,一般地： x 0,5,定义1.3. 1 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也趋于零，即,则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数y=f(x)的连续点,6,说明：,2. 函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函数值变化也不大.,1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函数图形在x0不断开.,7,定义1.3.2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果xx0时，相应的函数值f(x)f(x0) ，即,例如：,则称函数 y=f (x)在点x0
3、连续，也称点x0为函数 y=f (x)的连续点,故 在x0 连续，,在点1处连续.,8,3. 函数y=f (x)在点x0连续必须同时满足以下三个条件：,(1) 函数 y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义，,函数在一点的的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。,(2) 极限,(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即,存在；,即 y = f (x0) 存在;,9,例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性,f (x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;,f (x)在x =x0及其近旁点是否有定义？若有定义， f(x0)=？,所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.,
4、解,10,例2 讨论函数,f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;,不存在,因此函数 f (x) 在 x = 0 处不连续.,解,在x = 0处的连续性,11,例3 讨论函数,f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1)=0,不存在.,因此函数 f (x) 在 x = 1 处不连续.,解,在 x = 1 处的连续性,12,定义1.3. 3 设函数y=f (x)在(x0-, x0 有定义，,称y = f (x) 在x0处左连续.,2. 函数 y = f (x) 在x0处的左、右连续,设函数y = f (x) 在x0, x0+ ) 有定义，,且,称y = f (x) 在x0处右连续.
5、,且,13,定理1.3. 1 函数 在点 处连续的充要条件是函数 在点 处既左连续又右连续.,由于,得:,14,例4 讨论函数,f (x) 在x = /2 及其近旁有定义且 f (/2) =1.,因此函数f(x)在x= /2处左连续.,因此函数f(x)在x= /2处右连续.,因此函数f (x)在x = /2处连续.,解,在 x = /2 处的连续性,15,定义1.3. 4 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每,（二）函数y=f (x) 在区间a, b上的连续性,那么称函数y=f (x)在闭区间a, b上连续,或者说,(4)在右端点b处左连续,即,如果y=f (x) 满足(1)在闭区间a
6、,b上有定义;,(3)在左端点a处右连续,即,(2)在开区间(a, b)内连续;,一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.,y=f (x)是闭区间a, b上连续函数.,16,若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连续,则称 y = f (x) 为连续函数.,基本初等函数在其定义域内都连续,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线,17,二、 初等函数的连续性,定理1.3. 2 （连续函数的四则运算）,注意：和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形,f (x)g(x) , f (x)g(x) , f (x)/g(x),在点 x0 处也连续,若函数 f (x), g (x) 在点
7、x0处连续，则函数,18,定理1.3. 3 （复合函数的连续性） 设有复合函数y=f (x) ，若 (x)在点x0连续，且 (x0)=u0而函数f (u)在 u=u0连续，则复合函数 y = f (x)在 x = x0也连续,例如，,内连续 ,内连续 ,内连续 .,19,推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在,(1) 可作变量代换 u=(x) 求复合函数的极限, 即,令u=(x),点 u0 处连续，则有:,(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即,这表明: 复合函数 满足推论条件时:,20,解,例如，求,设,时,处连续.,由于,或:,21,定理1.3. 4 初等函数在其
8、定义区间内是连续的,注: 定义区间是指包含在定义域内的区间!,22,例5 计算,因为arcsin(lnx) 是初等函数，且x=e是它的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有:,解,23,例6 计算,解,24,三、函数的间断点,定义1.3.5 如果函数y=f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称y=f (x)在点x0处间断, 并称点x0为函数 y=f (x)的不连续点或间断点,（一）间断点的概念,25,进一步说明,设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数f(x)在点x0不连续.,(1) 在x0处没有定义；,(3) 虽在x0处有定义，且 存在，但,(2)
9、虽在x0有定义，但 不存在;,这样的点 x0称为函数f(x)的间断点.,26,无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限,第一类间断点：,可去间断点：,跳跃间断点：,函数f (x)在间断点x0处的左、右,函数f(x)在间断点x0处的,第二类间断点：,（二）间断点的分类,左、右极限都存在.,极限至少有一个不存在.,至少有一个为无穷大的点.,27,例7 函数,函数在x=1处是否有定义？,有定义，且 f(1) = -1 .,是否存在？,存在，且,是否成立？,显然,所以x =1是f (x)的第一类间断点,且是可去间断点,考察x=1处.,28,说 明：,所谓可去间断点是指：可以通过改变或补充 f(x0)
10、的定义使得 从而使函数 f (x) 在 x0 处连续.,例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则,则 f (x)在x=1处就连续了.,29,例7 函数,函数在x =0 处是否有定义？,有定义，且 f(0)=1 .,是否存在？,所以 不存在,考察x = 0处.,所以x = 0 是 f (x) 的 第一类间断点, 且是 跳跃间断点,30,例9 函数 考察 x = 0处.,函数在x=0处是否有定义？,无定义,是否存在？,所以x = 0 是 f (x) 的 第二类间断点, 且是 无穷间断点,31,例10 函数,称x = 0是f(x)的震荡间断点,所以 x = 0是为 f (x) 的第二类间断
11、点,都不存在.,解,考察x = 0处.,时, f (x)的值在-1,到1之间反复震荡,这时亦,32,例11 讨论函数,f (x)是初等函数，它在其定义区间内连续，,显然, f (x) 在点x = -1, x = 0 处没有定义, 故 f (x)在区间(-,-1) , (-1,0), (0,+ ) 内连续, 在点 x = -1，x= 0 处间断,解,因此我们只要找出 f (x)没有定义的那些点,如果有间断点，指出间断点类型,的连续性，,33,在点x =-1处：,x = -1是为f (x)的第一类可去间断点,在点 x = 0 处：,x = 0 是为f (x) 的第二类间断点,34,例12 讨论函数
12、,因为x=1是连续区间0,2内的一点，且1-x,在点x = 0处，因为,所以,是初等函数，,解,间断点，且是第一类间断点,在x = 0与x = 处的连续性,不存在，,因此 x =1是f (x)的连续点；,因此 x = 0 是f (x)的,35,讨论函数f (x)的连续性时，(1)若f (x)是初等函数，则由“初等函数在其定义区间内连续”的基本结论，只要找出f (x)没有定义的点以及定义域内的孤立点，这些点就是f (x)的间断点,连续性及间断点内容小结:,(2)若f (x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子
13、区间上函数的表达式，按初等函数进行讨论,36,第一类：,可去：,跳跃：,第二类：,常见的有无穷间断、 震荡间断，,间断点分类:,存在；,37,看图判断间断点的类型：,38,四、闭区间上连续函数的性质,定理1.3.5(有界性与最大值与最小值定理)若函数 f (x)在闭区间a,b上连续，则函数f (x)在闭区间a, b上有界且一定能取得它的最大值和最小值,即在a, b上至少存在点 1 和 2，使得对于a, b上的一切 x 值，有f (1)f (x) f (2)，这样的函数值 f (2) 和 f (1)分别叫做函数 f (x) 在区间a,b上的最大值和最小值.,（一）有界性与最大值最小值定理,39,
14、如图:,40,y=tanx在区间 (-/2, /2);,注意条件: (1) 闭区间； (2) 连续函数.,如果两个条件不全满足,结论未必成立.,考察以下两例:,41,定理1.3.6 (介值定理) 若函数 f (x)在闭区间a, b连续, 且 f (a) f (b) ,则对介于f (a)与f (b)之间的任意实数c，在(a, b)内至少存在一点，使 f ( ) = c（a b）成立,（二）介值定理与根的存在定理,42,f(x)从f(a)连续地变到f(b)时，它不可能不经过c值,如图:,43,定理1.3.7 (根的存在定理) 如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续，且 f (a)f (b) 0 ，
15、则方程f (x)=0 在(a, b)内至少存在一个实根 ，即在区间(a, b)内至少有一点 ，使 f ( ) =0 ,说明 ：连续曲线y=f (x)的端点在x轴的两侧时，曲线与x轴至少相交一次。,44,如图:,45,例13 证明方程 x4 -4x +2 = 0 在区间(1,2)内至少有一个实根,设 则,由根的存在定理可知，至少存在一点 (1,2)，使得f ( ) =0 这表明所给方程在(1,2)内至少有一个实根, f (x) 在闭区间1,2上连续;, f (1) = -1 0.,解,46,.函数在某点处的连续性是用极限来定义的,.函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的, 极限存在是连续的必要条件.,.闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值).,连续性是函数的重要属性之一所谓连续,从几何直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线从数学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相关的,四、本节内容小结,47,课后作业,
