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1、寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时 静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。 A、 B、 C同时静止释放，同时 下滑到最低点O。 分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动， 即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。 这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是 沿着轨道表面。 设曲线方程为，且最低点位于y轴上。 那么当质量为m的物体运动到曲线上的点（x ， f ( x ) ) 时， 所受下滑力 F = -mgsin 其中 是（x ，f ( x ) ) 处的切线的
2、倾角。 由于 所以 物体从点（x ， f ( x ) ) 下滑到最低点（0 ，f ( 0 ) ) 所要走过的路程 这里的路程相当于简谐运动的位移。 . . . . . . . . . . . . 简谐运动的回复力F 与位移S 之间满足 F = - k S( k 0 ) 将、代入上式得 设 0,1) z（），则，上式化为 等号两边对x求导得 y=f(x) 即 等号两边积分得 为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin，（0， /2），得到 由于当x=0时，回复力 所以当x=0时， z=0。将x = 0， z = 0代入得 ， C = 0 所以 . . . . . . 令= 2 ，代入上式得 由 若能求出y与 的关系y = y ( ) , 便能得到曲线的参数方程上式为x 与的关系， y x=x( ) =y( ) 可知 。 根据复合函数求导法则： . . . . . . 由得 . . . . . . . . . . . . 代入得 上式等号两边积分得 若曲线经过原点，则积分常数，此时 。 所以所求曲线的参数方程为 ， 0, /2。 利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。
