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1、43 第 3 章控制系统的时域分析法 本章介绍了根据系统的时间响应去分析系统的稳定性、 动态性能和稳态误差的有关问题。 其主要内容有： （1）自动控制系统的时域分析法，根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式 和响应曲线，直接分析系统等系统的稳定性、动态性能和稳态误差的品质。时域分析法具有直观、准确的优 点。 （2）稳定性是系统能否正常工作的首要条件。系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用 的大小和形式无关。线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s平面（即系统的特征根全部具 有负实部） 。劳斯稳定判据是从系统的闭环特征方程，间接判定系统的稳定性的。 （3）
2、对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量%，调节时间ts和稳态误差等性能 指标，评价系统性能的优劣。典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固 掌握。 对一阶、 二阶系统分析的结果， 往往是分析高阶系统的基础。 当高阶系统具有一对闭环主导极点时 （通 常是一对共轭复数极点） ，可以用一个二阶系统近似，并以此估算高阶系统的动态性能。 （4）系统的稳态误差不是系统自身的固有特性，它与系统的结构参数及输入信号的形式都有关。系统 的型别决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。提高系统的型别和增大开环放大系数可以减小或消除系统 的稳态误差。但这和稳定性有矛盾。在要求高
3、的场合可用复合控制。 教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析 3.1系统结构图如图 3.1 所示。已知传递函数 12 . 0 10 )( + = s sG，现采用加负反馈的方法，将调节时间 s t 减小为原来的 1/10，并保证总放大倍数不变。试确定参数 h K和 0 K的数值。 解：解：加负反馈后，系统闭环传递函数为： 图 3.1系统结构图 44 0 00 ( ) ( ) 1( ) 10/(0.21)10/(1 10) 1 10/(0.21)0.2 /(1 10) 1 h h hh K G s s G s K KsKK KssK = + + = + 化为标准的时间常
4、数表达式 0 10 1 10 ( ) 0.2 1 1 10 h h K K s s K + = + + 而典型的一阶系统传递函数为 ( ) 1 K s Ts = + 因此，欲将调节时间 s t减小为原来的 1/10，则反馈系统的时间常数T应该为原来的 1/10。原系统的时间 常数为 0.2s，而反馈系统的时间常数为 0.2 1 10 h K+ ，故有 0.20.2 1 1010 h K = + h K=0.9 由于保证总放大倍数不变，则有 0 10 10 1 10 h K K K = + 所以10 0 =K。 3.2某单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) (0.11) K K Gs ss =
5、 + 试分别求出10K=s1和20=Ks1时，系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率 n ，及单位阶跃响应的超 调量%和调节时间 s t。并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影响。 解：解：系统闭环传递函数为 22 10 ( ) 0.11010 KK s ssKssK = + + 二阶系统标准的零极点表达式为 2 22 ( ) 2 n nn s ss = + ，闭环传递系数K=1 比较可得，系统的性能参数为 45 n =10K， 5 10K = 且有5 n =，说明K值的大小对系统的快速性影响较小。 （1）当K=10 时，系统闭环传递函数为： 2 100 ( ) 10100 s ss = + 系统的
6、性能参数为 =0.5， n =10 系统相关动态性能指标为 2 1 %100%25.7%e =（错） 3 0.6(5%) s n ts = = （2）当 K=20 时闭环传递函数为： 2 200 ( ) 10200 s ss = + 系统的性能参数为 n =210， 4 2 = 系统相关动态性能指标为 2 1 %100%35.4%e =（错） st n s 6 . 0%)5( 3 = 由以上分析可见，增大系统开环传递系数K，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能 不利。 3.3设图 3.2 为某控制系统的结构图，试确定参数 1 K和 2 K，使系统的6= n ，1=。 解解：系统有
7、一条前向通道，两个反馈回路，彼此间相互接触，因此，根据梅逊公式，该控制系统的闭环 传递函数为 图 3.2控制系统结构图 46 1 112 1 2 121 25 (0.8) ( ) 2525 1 (0.8)0.8 25 (250.8)25 K s s s KK K s ss K sK KsK + = + + = + 与标准的二阶系统零极点表达式 2 22 ( ) 2 n nn s ss = + ，闭环传递系数K=1 比较，并将6= n ，1=代入，可得 1 12 256 2250.812 n n K K K = =+= 联立以上方程，得待定参数为 1 K=36/25 2 14/45K= 3.4如
8、图 3.3 所示， 若某系统加入速度负反馈s ， 为使系统阻尼比5 . 0=，试确定（1）的取值； （2） 系统的动态性能指标%和 s t。 解解： （1）该控制系统的闭环传递函数为 2 10 10(1) ( ) 105 (1 5 )10 1 (1)1 s s s ss s ss + = + + + 与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得 )51(2+= n 并考虑到：10 n =，5.0=，所以 101 0.432 5 = （2）系统的动态性能指标如下 图 3.3加入速度负反馈的系统 47 2 1 %100%25.7%e = 3 (5%) 1.9 s n ts = = 3.5实验测得单位负反
9、馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图 3.4 所示。试确定该系统的开环传递函数 ( ) K Gs。 解：解：由图 3.4 所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为 2 22 1 3.14 0.2 11 1.25 1 %100%100%25% 1 p nn t e = = 联立以上方程可得： =0.515， n =18.33 并由于系统的单位阶跃响应稳态值为 1，说明系统的闭环传递系数K=1，故求得系统闭环传递函数为 2 222 335 ( ) 218.88335 n nn K s ssss = + 系统为单位负反馈结构，因此有 ( ) ( ) 1( ) K K Gs s Gs = + 推出系统开
10、环传递函数如下 2 22 ( )335 ( ) 1( )2s18.88 n K n s Gs ssss = + 3.6已知某系统的闭环传递函数为 )1)(6 . 2)(10( )5 . 2(10 )( )( )( 2 + + = ssss s sR sC s 试估算该系统的动态性能指标%和 s t。 图 3.4二阶系统的阶跃响应曲线 48 解：解：将系统化为等效的时间常数表达式 2 1 2.5(1) ( ) 2.5 ( ) ( ) 2.6(1)(1)(1) 102.6 s C s s ss R s ss + = + + 该系统有 4 个闭环极点，一个闭环零点，分别为 123,4 0.1,2.6
11、,0.50.866sssj= = = ， 1 2.5z= 。 从闭环系统零极点分布可见：系统的闭环零点 1 z与闭环极点 2 s作用基本相抵消；而极点 1 s相比 3,4 s离虚轴较远，所决定的动态分量衰减速度较快，对系统的动态响应过程影响较弱。因此，该闭环系统 的主导极点为共轭复数极点对 3,4 s，在研究系统的动态响应时，忽略其他非主导零极点的影响，该系统可 以近似为典型二阶系统 22 ( )2.50.96 ( ) ( )2.6(1)1 C s s R sssss = + + + 则该系统单位阶跃响应的稳态值为 0.96，而动态性能指标可估算为 10.5 n = 25.66%100% 2
12、1 = e 3 6(5%) s n ts = = 根据 MATLAB 仿真，得到此高阶系统准确的动态性能指标为 %13%= 5. 6(5%) s ts= = 说明估算结果是比较可信的。 3.7已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1） 20 ( ) (1)(5) K Gs s ss = + （2） 10(1) ( ) (1)(5) K s Gs s ss + = + （3） 0.1(2) ( ) (0.5)(0.8)(3) K s Gs s sss + = + （4） 3 51 ( ) (1)(2) K s Gs s ss + = + 试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。 解解： （1）系统闭环
13、传函为： 2056 20 )( 23 + = sss s 闭环特征方程为：2056 23 +sss=0，列劳斯表如下 s315 49 由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下： 三阶系统特征方程为0 01 2 2 3 3 =+asasasa，则系统稳定的充分必要条件为： 3 a、 2 a、 1 a、 0 a均 大于 0 及 1230 a aa a。 对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且6 51 20 ，因此系统稳定。 （2）系统闭环传函为： 1054 1010 )( 23 + + = sss s s 系统闭环特征方程为：1054
14、23 +sss=0，因此 3 a、 2 a、 1 a、 0 a均大于 0，且4 51 10 ，故该 系统稳定。 （3）闭环传函为： )2(1 . 0)3)(8 . 0)(5 . 0( )2(1 . 0 )( + + = sssss s s 系统闭环特征方程为： 432 4.34.31.30.2ssss+=0，列劳斯表如下： s414.30.2 s3 4.31.3 s2 4.3 4.3 1.3 4 4.3 =2.0 3.4 2.03.4 = s1 4 1.34.3 0.2 1.08 4 = s00.2 由于劳斯表的第一列系数全部大于零，故该系统是稳定。 （4）系统闭环传函为： 1523 15 )
15、( 345 + + = ssss s s 系统闭环特征方程为 1523 345 +ssss=0 因为特征方程缺相（缺 2 s） ，故该系统不稳定。 3.8试用劳斯判据判定具有下列特征方程式的系统的稳定性。若系统不稳定，指出在s平面右半部的特 s2620 s1 6 520 15 63 = s020 50 征根的数目。 （1）0100920 23 =+sss（2）0200920 23 =+sss （3）0133 234 =+ssss（4）01244 2345 =+sssss （5）0163453 23456 =+ssssss 解解： （1）0100920 23 =+sss 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为 s319 s220100 s1 20 9 100 1 4 20 = s0100 由于劳斯表的第一列系数全部大于零，无 s 右半平面的闭环极点，故该系统稳定。 （2）0200920 23 =+sss 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为 s319 s220200 s1 20 9200 1 1 20 = s0200 劳斯表的第一列元素符号改变的次数
