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1、数项级数（级数收敛的柯西准则） 级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有定理：若级数与都收敛，则对任意的常数，级数亦收敛，且。定理：正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数，对一切正整数有（比较原则） 设与是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有 ，则（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散。 推论 设 （1） （2）是两个正项级数，若，则（i） 当时，上述级数同时收敛或同时发散；（ii） 当且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；（iii） 当且级数（2）收敛时，级数（1）发散。（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设为
2、正项级数，且存在某正整数及常数（）（i） 若对一切，成立不等式则级数收敛（ii） 若对一切，成立不等式，则级数发散。（柯西判别法，或称根式判别法） 设为正项级数，且存在某正数及正常数，（i） 若对一切，成立不等式，则级数收敛；（ii） 若对一切，成立不等式，则级数发散。积分判别法定理12.9 设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。定理12.11 （莱布尼茨判别法） 若交错级数满足下述两个条件：（i）数列单调递减；（ii）。则交错级数收敛。定理12.15（阿贝尔判别法）若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛。定理12.16（狄利克雷判别法）若数列单调递减，且，又级数的部分
3、和有界，则级数收敛。函数列与函数项级数定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在正数，使得当时，对一切，都有。定理13.3（一致收敛的柯西准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在正数，使得当时，对一切和一切正整数，都有或。定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有则函数项级数在上一致收敛。定理13.6（阿贝尔判别法）设（i）在区间上一致收敛；（ii）对于每一个，是单调的；（iii）在上一致有界，即对一切和正整数，存在正数使得，则级数在上一致收敛。定理13.7（狄利克雷判
4、别法）设（i）的部分和函数列在上一致有界；（ii）对于每一个，是单调的；（iii）在上则级数在上一致收敛。定理13.8 设函数列在上一致收敛于，且对每一个，则和均存在且相等。定理13.9（连续性）若函数列在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数在上也连续定理13.10（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则定理13.11（可微性）设为定义在上的函数列，若对为的收敛点，的每一项在上游连续的导数，且在上一致收敛，则幂级数定理14.1（阿贝耳定理）若幂级数在收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若幂级数在时发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散。定理14.2 对于幂级数
5、，若，则当（i）时，幂级数的收敛半径；（ii）时，幂级数的收敛半径；（iii）时，幂级数的收敛半径。定理14.4 若幂级数的收敛半径为，则在它的收敛区间内任一闭区间上级数都一致收敛。傅里叶级数定理15.1 若级数收敛，则级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。定理15.2 若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：多元函数的极限与连续定理16.1（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是任给正数，存在正整数，使得当时，对一切正整数，都有定理16.2（闭域套定理）设是中的闭域列，它满足：（i）；（ii）则存在惟一的点定理16.3（聚点定理）设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点定理16.4（有
6、限覆盖定理）设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了（既）.定理16.6 若在点存在重极限与累次极限 则他们必相等.定理16.8（有界性与最大、最小定理）若函数在有界闭域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值.定理16.9（一致连续性定理）若函数在有界闭域上连续，则在上一致连续.即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点，只要，就有.定理16.10（界值性定理） 设函数在区域上连续，若为中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得.多元函数微分学定理17.6 若函数在点可微，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且，其中为方向的余弦.定理17.8（中值定理）设二元函数在凸开域上连续
7、，在的所有内点都可微，则对内任意两点，存在某，使得隐函数定理及其应用定理18.1（隐函数存在惟一性定理）若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv）则在点的某邻域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得、1 时且；2 在内连续.定理18.2（隐函数可微性定理）设满足隐函数存在惟一性定理中的条件（i）（iv），又设在内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在其定义域内有连续导函数，且.含参量积分定理19.1（连续性）若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续.定理19.2（连续性）设二元函数在区
8、域上连续，其中为上的连续函数，则函数在上连续.定理19.3（可微性）若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则在上可微，且.定理19.4（可微性）设在上连续，为定义在上其值含于内的可微函数，则函数在上可微，且定理19.6若在矩形区域上连续，则定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切都有.定理19.8 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛.曲线积分定理20.1 设有光滑曲线；函数为定义在上的连续函数，则重积分定理21.3 若曲线为由定义在上的连续函数的图像，则曲线的
9、面积为零.定理21.7 设是定义在有界闭域上的有界函数.若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在上可积.定理21.8 设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且定理21.11（格林公式）若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有，这里为区域的边界曲线，并取正方向.定理21.12 设是单连通区域.若函数在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（i）沿内任一按段光滑封闭曲线，有；（ii）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；（iii）是内某一函数的全微分，即在内有；（iv）在内处处成立.定理21.13 设在有界闭区域上可积，变换将平面有按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，则.曲面积分定理22.1 设有光滑曲面为上的连续函数，则定理22.22 设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有定理22.3（高斯公式）设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则其中取外侧.定理22.4（斯托克斯公式）设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线.若函数在（连同）上连续，且具有一阶连续偏导数，则其中的侧与的方向按右手法则确定.
