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1、第五章第五章 静电场静电场 通过复习后，应该: 1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、 电偶极子的电势; 2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极 化、能斯特方程、电容器、静电场的能量; 3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。 通过复习后，应该: 1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、 电偶极子的电势; 2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极 化、能斯特方程、电容器、静电场的能量; 3.了解电偶层的电势、细胞膜静息
2、电位、心电图和心向量图的电学原理。 5-1 点电荷 q 和 4q 相距 l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受 力平衡? 解：解：已知两个同号点电荷 q 与 4q 相距 l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷， 当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为 mq，与 q 相距 x， 如本题附图所示。根据库仑定律 2 21 r qq kF ，分析力的平衡条件，电荷 mq 分别与 q、4q 的 引力相等，即 2 2 2 2 4m x)(l mq k x q k (a) 电荷 q 受 4q 的斥力和 mq 的引力相等，即 习题 5-1 附图 2 2 2 2
3、4 x mq k l q k (b) 解（a）式得 x=l /3，将其代入（b）式可得 m=4/9。 从上面的计算结果可知，在 q 与 4q 之间，与电荷 q 相距 l/3 处，放置一个 4/9q 的异号电 荷，可使三个电荷达到受力平衡。 5-2 两个点电荷分别带有+10C 和+40C 的电量，相距 40cm，求场强为零的点的位置及 该点处的电势。 解解: 求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点 P，才能使该处场强为零，即 q1 、q2 在该点的场强 E1、E2大小相等，方向相反，已知 q1 =10C，q2 =40C，则根据点电荷 场强公式 2 r q kE ，有 2 2 2 2 1
4、1 r q k r q k 由上式可得 2 1 40 10 2 1 2 1 q q r r 习题 5-2 附图 又因 r1 + r2 =40cm，由此可得 r1 =40/3cm=40/310-2 m； r2 =80/3cm=80/310-2 m 求电势: 设 q1 、 q2 在 P 点产生的电势分别为 U1 、 U2， P 点电势 U 为 U1 、 U2 之和， 即 V.V)(. r q k r q kUUU 12 22 9 2 2 1 1 21 10032 10 3 80 40 10 3 40 10 1009 5-3 两等值异号点电荷相距 2.0m，q1 =8.010-6 C，q2 =-8.
5、010-6 C。求在两点电荷连 线上电势为零的点的位置及该点处的场强。 解解: 求电势为零的位置:设 q1、q2 连线上 P 点处电势为零，该点电势为 q1、q2 分别产 x lx q 4q mq r1 r2 q1 P E2 E1 q2 生的电势 U1、U2 之代数和，由点电荷电场的电势 r q kU 得 0 2 2 1 1 21 r q k r q kUUUP 习题 5-3 附图 从上式可得 1 2 1 2 1 q q r r 又r1 + r2 =2.0m，则r1 = r2 =1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。 求场强:设q1、q2 在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方
6、向一致，故P点的场强 为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2 15 1 66 9 2 2 2 2 1 1 21 10441 01 1008 01 1008 1009 CN. CN) . . . . (. r q k r q kEEE 5-4 在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q， 在以下两种情况下， 求三角形重心处的场强和电势：三个顶点都带正电荷;两个顶点带正电荷，一个顶点带 负电荷。 习题5-4 附图（a） 习题5-4 附图（b） 解解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。 电势为标量，只需求出它们的代数和。 当三个都为正电荷时，按
7、附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三 角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出 a cos a r 3 3 30 1 2 0 由点电荷场强公式 2 0 4r Q E 可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即 2 0 2 0 321 4 3 4a Q r Q EEE （a） 方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey 和Ex ，则由附图 （a）可得 Ey =E2 cos60+ E3 cos60E1 = E2 + E3 E1 =0 Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ） 故重心处的合场强E=0。 q2 r1 r2
8、 q1 P E2 E1 Y X E1 E2 E3 r r r Q Q 30 a Y X E1 E2 E3 r r r Q Q 30 a Q 由点电荷的电势公式 r Q U 0 4 和 ar 3 3 可得 a Q UUU 0 321 4 3 根据电势叠加原理，重心处的电势U为 a Q UUUU 0 321 4 33 当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。参考前面的 （a）式，由点电荷电场强度公式可得 2 0 321 4 3 a Q EEE 方向如附图（b）所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由 附图（b）可得 Ey = E1 + E2 cos
9、60+ E3 cos60= E1+ E2 + E3 =2 E1 = 2 0 2 3 a Q Ex =E2 sin60E3 sin60=0 （因为E2 =E3 ） 故重心处的场强E的大小为 2 0 2 3 a Q EE y 其方向垂直向上。 由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为 a Q r Q U 00 4 3 4 ， a Q UU 0 32 4 3 根据电势叠加原理，重心处的电势为 a Q UUUU 0 321 4 3 5-5 均匀带电直线长2a，其线电荷密度为，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直 线相距为a的点的场强和电势。 解解: 求场强：以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点
10、O，在直线上距O点 x处取 一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=dx，此电荷元在所求点P处产生的场强为 )( 222 xa dx k r dq kdE （a） 其方向沿dq与P点连线（图中为0时的情况，若R2）作一球形高斯面S1（外虚 线） ，该高斯面上各处场强为零.通过S1 面的电通量 0 1 e dscosE s 由高斯定理可知，两球面带异号电荷，且q1 =q2 ，即： 14R12 =24R22，由此可解出内球面上的电荷密度1为 2 2 1 2 1 )( R R 习题5-12附图 从球心O以半径R作一球形高斯面S2（见附图，内虚线） ，由于电荷均匀分布，球面带电 体具有球对称性，电场的
11、分布也应有对称性，在高斯面S2 上各处的场强大小相等，方向均 沿半径方向，即=0（此为内球面带正电情况，若带负电，=180，请读者自行讨论） 。设 S2 上场强大小为E，根据高斯定理有 E4R2 =q1/0 2 0 2 22 2 0 2 22 2 0 2 2 0 1 4 4 44R R R R R q R q E 因球面内没有电荷，由高斯定理可知，E=0。 5-13 电场强度E与电势U之间有何关系?电场中，若某点场强为0，该点电势是否一 定为0?反之，某点电势为0。该点的场强是否一定为0? 若空间中各点电势为一常数，场强 O r R2 R R1 S1 S2 一定为0吗? 为什么? 答答: 电场
12、强度E与电势U是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量， 电场强度E 描述了电场力的特性，而电势U则描述了电场能的特性，它们之间的积分关系为 a a dlEUcos，微分关系 dn dU E。从它们的关系式可以看出，某点场强为0，该点 电势不一定为0，例如，半径为R的带电球壳，内部的场强为0，而电势等于kQ/R。某点的 电势为0， 但该处的dU不一定为0， 因此该点的场强不一定为0， 例如电偶极子的中垂面上， 各点的电势等于0，但场强不等于0。若空间各点电势为一常数，dU=0，则场强一定为0。 5-14 电量为q=+1.010-8 C的点电荷，从电场中的a点移到b点，电场力作的功为3 10-
13、6 J，求: a、b两点的电势差是多少? 两点中哪一点的电势较高? 解解: 已知q=+1.010-8 C，Wab =310-6 J，由电势差公式UaUb =Wab /q可得 UaUb =Wab /q=310-6 /1.010-8 V=3102 V 因为正电荷从a移到b是电场力作功，所以Ua Ub。 5-15 什么是电偶极子? 电偶极子电场中某一点的电势与哪些因素有关? 指出电势大 于零、等于零、小于零的区域? 答答: 两个相距很近的等量异号电荷+q和q所组成的带电系统叫电偶极子。 电偶极子电 场中某一点的电势与电偶极子的电矩P成正比， 与该点到电偶极子的距离r平方成反比， 且 与方位角有关，即
14、 2 cos r P kU 。电偶极子中垂面上各点的电势为零，在中垂面+q一侧 空间各点的电势为正，q一侧空间各点的电势为负。 5-16 两个等量异号的点电荷，其电量均为10-9 C，相距0.01mm，求该电偶极子的电 矩大小和方向。 解解: 已知Q =1.010-9 C，l =0.01mm=1.010-5 m，由电矩公式可得 P=ql=1.010-91.010-5 Cm=1.010-14 Cm 其方向由负电荷指向正电荷。 5-17 设在XY平面内的原点O处有一电偶极子，电矩P的大小为1.010-6 Cm，方 向指向Y轴正方向。问在坐标（1，0） ， （1，2） ， （0，1） ， （-1，2
15、）点处的电势分别是多少? （坐标单位为m） 解解: 已知原点O处的电偶极子的电矩P=1.010-6 Cm，方向指向Y轴正方向，如附图所示， A点：=90，r =1m； B点：cos=2/5，r =5m； C点：=0， r =1m； D点：cos=2/5，r =5m。 根据电偶极子的电势 2 cos r P kU ，A、B、C、D各点 的电势分别为： 习题5-17 附图 0 90cos 2 0 r P kUA y(m) x(m) O C(0,1) A(1,0) B(1,2) D(-1,2) V1061V 5 5 2 10 109 3 6 9 2 . r cosP kU B V109V 1 10 109 3 6 9 2 r cosP kU C V1061V 5 5 2 10 109 3 6 9 2
