向量与线性方程组

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1、向量与线性方程组,向量的线性相关性,线性方程组的解的结构,线性方程组的求解,第二章,向量的定义及线性运算,向量与线性方程组,引例 一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。,向量的定义,如果将有序数组写成一列的形式，则称向量 为列向量。,实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。,2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。,3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。,4、负向量：称向量 为向量 的负向量，记作 。,5、向量组：如果n个

2、向量 是同维向量，则称为 向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习：已知 ，求,解,（1）,则方程组有向量形式,线性方程组的向量表达式,若记,线性方程组,即为系数矩阵的第 列,向量的线性关系, 向量的线性关系,解 设,则,所以,线性组合的概念：设有同维向量 ，如果存在 一组数 ，使得 成立， 则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。,线性相关、线性无关的概念,显然：含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组 ，如果存在一组不全为零的数 ，使得

3、成立，则称 向量组 线性相关，否则，称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时， 才成立，则称向量组 线性无关。,两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。,证明,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为n维向量空间的单位坐标向量组。,任何一个n维向量 都可由向量组 线性表示，,解 设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,所以向量组 线性相关。,练习 判断向量组的线性相关性,解 设,则有,证明,例5 已知向量组 线性无关，证明：向量组 线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,所以有,由于,事实上，可取,则,否则，若,可推得,这与已知矛盾

4、，所以,定理 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,所以,所以 可由向量组 线性表示。,不妨设,于是有,则有,解 设,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结：,(3) 向量 可由向量组 线性表示,线性方程组 有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1、单个非零向量是线性无关的。,2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。,4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不

5、改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。,5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。,个数大于维数的向量组是线性相关的。,向量组与矩阵的秩,矩阵的K阶子式的概念,从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。,如,则矩阵A共有 个二阶子式。它们是：,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩， 记作 R(A) 或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零， 所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩

6、阵，则 R(A) min (m,n)。 特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩 阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,定理,推论 任意m个n维的向量线性相关,m*n矩阵A的m个行向量线性相关的重要条件是R(A)m,定理,矩阵A的秩为的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量(如果存在）线性相关,n个n维的向量线性无关的充要条件是他们组成的矩阵的行列式不等于零,推论,m个n维向量线性相关的充要条件是由他 们组成的m*n矩阵的秩为m(mn),推论,行阶梯矩阵，行最简单矩阵 设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下

7、列三个条件 （1）a11,a22，ann以下的元素全为零 (2)每一行的每一个非零元前面的 零元个数大与前一行的这种零元的个数 （3）如果某一行的元全为零，则以下额 所有行的元全为零,非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。,行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：,定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求矩阵的秩,解 将矩阵作初等变换,所以 R(A)=3,行阶梯形,课堂练习：,利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩,答案：,问题：矩阵 B

8、中是否所有的三阶子式都不为零？,向量组的极大无关组,如果向量组 的部分组 满足 （1） 线性无关；（2）任意增加一个向量 （如果存在的话），向量组 线性相关。 则称向量组 为向量组 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。,例如：向量组,线性相关， 线性无关。,向量组 是向量组 的一个极大无关组。,向量组 也是向量组 的一个极大无关组。,可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。,向量组的秩,向量组 的极大无关组中所含向量的个数， 称为向量组的秩。记作,如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性相关。,矩阵A的秩 = 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩,可利用矩

9、阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量 组的秩及极大无关组。,如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性无关。,例1 判别下列向量组的线性相关性,解 令,因为,例2 判别下列向量组的线性相关性,解：令,因为,向量组的等价关系,如果向量组A： 中的每一个向量可由向量 组B： 线性表示，同时，向量组B中的每一 个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。,定理：等价向量组的秩相等。,一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。,等价向量组的性质 （1）反身性：向量组A与自身等价； （2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B 与A等价； （3）传递性：如果A与B

10、等价，B与C等价，则A与C等价。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：作矩阵,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：. . . . . .,又,练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。,解 构成矩阵，令,于是，,是它的一个极大无关组。,且,求向量组的极大无关组的另解,重要结论,若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则 A 的,行向量组与 B 的行向量组等价，而 A 的任意 K 个列向量与,B 中对应的 K 个列向量有相同的相关性；,若矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B ，则 A 的,列向量组与 B 的列向量组等价，而 A 的任意 K 个行向量与,B 中对应的 K 个行向量有相同的相关性。,例4 求下列向量组的一个极大无关组,解法2：构造矩阵,因为,而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性,作 业,P63 2.1(3), 2.2(2), 2.6, 2.8 预习 线性方程组解的结构 非线性方程组解的结构,