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1、1,高等数学,第十四讲,2,第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,3,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第十章,4,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,问题的提出,5,求曲边梯形面积的解题步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,窄曲边梯形面积,得,3) 近似和.,4) 取极限.,6,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱
2、体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,7,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,8,4)“取极限”,令,9,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n
3、个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,10,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,11,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,12,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,13,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平
4、行坐标轴的直线来划,记作,14,关于二重积分定义的几点说明:,1、二重积分的值与D域的分法及,的取法无关。,2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与,及D有关而与积分变量的记号无关。,3、,对D的分割是任意的，若用,平行于坐标轴的直线段来划分D ,那么除了靠边的一些,小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于,靠边的小区域不作计较。,15,上方的体积下方的体积。,二重积分的几何意义,16,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,17,三、二重积分的性
5、质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,（共8个）,18,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. （二重积分的估值定理）,D 的面积为 ,则有,设,19,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,此性质的几何意义是：总可以在D内找到一点,使得以D为底,为曲顶的曲顶柱体的体积等于以,D为底，,为高的平顶柱体体积。,20,8. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,
6、则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,21,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,22,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,23,例2. 判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,24,例3. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,1、,25,2、,解： 先求,在D上的最值,令,得驻点：,在D的边界上,为D的面积,26,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),27,例2. 判断积分,的正负号.,解: 分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负 但不好估计 .,舍去此项,
