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第二章 一元函数微分学及其应用,2.6 微分中值定理,一、罗尔( Rolle )定理,费马(fermat)引理,证: 设,则,几何背景,定理2.1,定理2.1,证明：,返回,注意：,证明,推广到一般情形,定理2.2,证明,推论1:,若函数,在区间 (a, b) 内,则,在(a, b)内必为常数.,证: 在(a,b)内任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在(a, b)内为常数 .,自证:,证恒等式:,欲证,时,只需证在 I 上,证明：,步骤:,证:,定理2.3,问题:,否!,两个 不一定相同,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例 设函数,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,例 试证至少存在一点,使,证:,用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,谢谢！,
