微积分复习精品

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1、一一 知识点总结知识点总结 ( (一一) ) 重要定义重要定义 1 1 无穷小的比较无穷小的比较 若若 00 ()() lim0,lim0 xxxx xx xx (1)(1)若若 (2)(2)若若 (3)(3)若若 0 () lim0, xx x x x 则称则称 x 是比是比的高阶无穷小的高阶无穷小 x 0 () lim0 , xx x x C C x 0 0 ()() lim1,lim1, xxxx x x x x x x 则称则称 x x 则称则称 x x 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小 与与是等价无穷小是等价无穷小 或或 记作记作 )(o记作记作 2.连续的定义连续的定义 定义定义 1

2、 1 设函数设函数)(xf在在)( 0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果 0lim 0 y x , , 则称函数则称函数 )(xf 在点在点 0 x连续连续, , 0 x称为称为 )(xf 的连续点的连续点. . 定义定义2.在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义 , 则称函数则称函数.)( 0 连续在xxf 设函数设函数且且 说明：说明：证明命题用函数连续的第一种定义形式方便，证明命题用函数连续的第一种定义形式方便， 判断函数在某点是否连续（尤其是分段函数在分界判断函数在某点是否连续（尤其是分段函数在分界 点处）是否连续用第二种定义形式方便。点处）是否连续用第二种定义形式方便。 可见可见

3、, 函数函数在点在点 0 x (1) 在点在点 即即 (2) 极限极限 (3) 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: 存在存在 ; 有定义有定义 ,存在存在 ; 在在 在在 3、 函数的间断点函数的间断点 (1) 函数函数 (2) 函数函数不存在不存在; (3) 函数函数 存在存在 ,但 )()(lim 0 0 xfxf xx 不连续不连续 :下列情形下列情形 这样的点这样的点 之一之一函数函数 f (x) 在点在点 虽有定义虽有定义 , 但但 虽有定义虽有定义 , 且且 称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ; 间断点分类间断点分类: : 第一类间断点第一类间断点: 及及均存在均

4、存在 , 若若称称 0 x 若若称称 0 x 第二类间断点第二类间断点: 及及中至少一个不存在中至少一个不存在 , 称称 0 x 若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称 0 x 若其中有一个为若其中有一个为 , 为为可去间断点可去间断点 . 为为跳跃间断点跳跃间断点 . 为为无穷间断点无穷间断点 . 为为振荡间断点振荡间断点 . （二）重要定理（二）重要定理 定理定理 1 . Axf xx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 极限存在的充要条件极限存在的充要条件 其中其中 为为 0 xx 时的无穷小量时的无穷小量 . 定理定理 2 . ( 无穷小与函数极限的

5、关系无穷小与函数极限的关系 ) Axf xx )(lim 0 Axf)(, 定理定理3 （函数极限的局部保号性）（函数极限的局部保号性） 若若 且且 A 0 , . 0)(xf )0)(xf 则存在则存在 ( A 0 ) 推论推论 若在若在的某去心邻域内的某去心邻域内0)(xf )0)(xf , 且且 则则 . 0A )0(A 定理定理4.（函数极限存在的夹逼准则）（函数极限存在的夹逼准则） ,),( 0 时当xx Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 , )()(xhxg)(xf Axf xx )(lim 0 )0( Xx )(x)(x )(x 且且 定理定理5.(单调有界准则单

6、调有界准则) 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 定理定理6. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 1 有限个无穷小的有限个无穷小的和和还是无穷小还是无穷小 . 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 . 若若为无穷大为无穷大, )( 1 xf 为无穷小为无穷小 ; 若若为无穷小为无穷小, 且且,0)(xf 则则 )( 1 xf 为无穷大为无穷大. 则则 定理定理7. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, 定理定理 8 .（极限的四则运算法则）（极限的四则运算法则） ,)(lim,)

7、(limBxgAxf则有则有若若 1. 2. 3.B0 注意：注意：必须是在 必须是在有限个有限个函数，且每个函数的极限函数，且每个函数的极限都都 存在存在的前提下应用公式的前提下应用公式 定理定理9 )( )( lim) 3 xF xf ax 存在存在 (或为或为) )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax ,)()()()2内可导在与axFxf 型和型和 0 0 洛必达法则洛必达法则型未定式解法：型未定式解法： 总结：总结： 1 1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定 式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的

8、结论。式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。 2 2）解题过程中注意及时化简函数式）解题过程中注意及时化简函数式 3 3）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件 4 4）为简化运算通常将法则与等价无穷小替换结合使用）为简化运算通常将法则与等价无穷小替换结合使用 定理定理10一切初等函数在一切初等函数在定义区间内定义区间内连续连续 设设 且且 存在存在 , 则则 lim 定理定理11.( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ) (1) 和差取大规则和差取大规则: (2) 和差代替规则和差代替规则: (3) 因式代替规则因式代替规则: （

9、三）重要公式（三）重要公式 推广推广 sin lim_ ; x x x 1 lim sin_ ; x x x 0 1 limsin_ ; x x x e x x x ) 1 1(lim2. 或 注注:代表相同的表达式代表相同的表达式 推广推广 3.一般有如下结果：一般有如下结果： 为非负常数为非负常数 ) m mm x axaxa 1 10 lim n nn bxbxb 1 10 无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子, , 分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. . 设设 则有则有 )( )(1lim 0 x

10、v xx xu 若若,0)(lim 0 xu xx ,)(lim 0 xv xx e )()(lim 0 xuxv xx 0 1 ( ) ( ) ( ) lim 1( )u x v x u x xx u x ( ) g x yf x若若lim( ),f xAlim ( ),g xB 则有则有 lim( ) g xB f xA 4. 结论结论1 1 结论结论2 2 结论结论3 当当时，以下各函数趋于时，以下各函数趋于的速度的速度x ln ,(0),(1), xx xxa ax 当当时时n 由慢到快由慢到快 ln ,(1),!, knn nna ann 由慢到快由慢到快 4. 型未定式极限的求法。

11、型未定式极限的求法。 1 （1）利用重要极限利用重要极限 或或 （2 2）用对数恒等式化为）用对数恒等式化为, , 0再化为再化为 0 0 或或 一般，幂指函数的底呈一般，幂指函数的底呈 1u x （其中（其中） 0u x 或易化成这种形式的，用（或易化成这种形式的，用（1 1）简单。）简单。 常用的等价无穷小：常用的等价无穷小： ,0时时当当 x 33 11 tan,sin, 36 xxxxxx xsin;xxcos1; 2 2 1 x xarcsin;x 1 x e;x 1)1 ( x ;x 3 1 tansin 2 xxx 几个常用极限：几个常用极限： lim1.(1) n n aa l

12、im1. n n n 特例特例 lim 2 x arctgx lim 2 x arctgx lim0 x x e lim x x e 0 lim1 x x x 0 limln0 x xx lim0(1) n n n a a n lim0 ! n n a n lim0 (1) k n n n a a lim0 (1) n n nqq 说明：说明： 关于方程关于方程 0( )f x 的根，（或的根，（或( )f x的零点）的零点） 的存在性的证明思路的存在性的证明思路 1）只知）只知( )f x在在 , a b上连续，而没有说明上连续，而没有说明或或( , a b ( )f x 是否可导，则一般用

13、闭区间上连续函数的是否可导，则一般用闭区间上连续函数的 零值定理。零值定理。 2）作出）作出( )f x的一个原函数的一个原函数( )F x，证明，证明( )F x满足罗满足罗 尔定理条件，从而得出尔定理条件，从而得出( )f x的零点的证明。的零点的证明。 1 1）求出）求出 ( )f x 的驻点和的驻点和 ( )fx 不存在的点，划分不存在的点，划分 ( )f x 的单调区间。的单调区间。 2 2）求出各单调区间的极值（或最值）求出各单调区间的极值（或最值） 3 3）分析极值（或最值）与）分析极值（或最值）与x x轴的位置轴的位置 方程方程根的唯一性的研究根的唯一性的研究 0( )f x

14、解题思路：解题思路： 1 1）利用零点定理（或罗尔定理）证明）利用零点定理（或罗尔定理）证明 0( )f x 有一个根。有一个根。 2 2）利用函数的单调性或反证法，证明）利用函数的单调性或反证法，证明 0( )f x 最多只有一个根。最多只有一个根。 方程方程0( )f x 的根的个数的讨论的根的个数的讨论 解题步骤解题步骤 第二部分第二部分导数与微分导数与微分 一一 知识点总结知识点总结 1 1 重要定义重要定义 1 1）在点）在点的导数的导数 记作记作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xx x y 0d )(d xx x xf 在点在点的的导数导数. 定义如下：定义如下： . )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf xf h 其它形式其它形式 . )()( lim)( 0 0 0 0xx xfxf xf xx 即即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim 就说函数就说函数若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点不可导不可导. 0 x 若若 ,lim 0 x y x 也称也称在在 的导数为的导数为无穷大无穷大 . 2)左右导数分别定义如下：左右导数分别定义如下： 0 (