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1、2 拉格朗日插值,一、线性插值,三、n次多项式,四、插值余项,二、二次插值,一、线性插值,1. 线性插值的定义,当n=1时的n次代数多项式插值称为线性插值，即：已知在互异点x0, x1处的函数值f(x0)=y0, f(x1)=y1，要构造线性函数 L1(x)=a0+a1x，满足 L1(xi)=yi，i =0,1,2. 线性插值的几何意义,用通过两点(x0, y0)、 (x1, y1)的直线y=L1(x)近似代替曲线y=f(x)，如下图所示。,3. 线性插值公式的推导,根据直线的点斜式，有,把上式改写成,称按如上方法确定的L1(x)为拉格朗日线性插值多项式，其特点为：是两个函数l0(x), l1
2、(x)的线性组合，并且 l0(x), l1(x)具有性质,(1)都是一次多项式；,(2) l0(x0)=1, l1(x0)=0,l0(x1)=0, l1(x1)=1,线性插值 基函数,二、二次插值,1. 二次插值的定义,设给出关于函数y=f(x)在三个互异点处的函数值，,求 一个次数不超过二次的多项式.,这就是二次插值问题,满足,2. 二次插值的几何意义,用经过三点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的抛物线y=L2(x)近似代替曲线y=f(x)，如下图所示。,3. 二次插值公式的推导,仿照线性插值多项式的构造特点，先对每个基点xi构造一个二次函数 li(x) (i=0,1
3、,2),使满足,先构造l0(x)。 l0(x)满足,则l0(x)可设为如下形式,又因为,，即,解得,即,同理可得,称这三个函数为二次插值基函数,再令,显然它是次数不超过2次的多项式，且满足,即为所求的二次插值多项式,三、n次插值,1. n次插值的定义,设给出关于函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值,求 一个次数不超过n次的多项式Ln(x)插值这n+1个点。,2. n次插值的一般形式,其中,是n次插值基函数,思考1 设f(x)=x2，求f(x)的次数不超过1、2、3、的插值多项式各是什么？在哪些点处会有误差？,思考2 设f(x)=sinx，求f(x)的次数不超过1、2、3、的插值多项式各是
4、什么？在哪些点处会有误差？,思考1答案：当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次的插值多项式就是f(x)本身。此时误差为0！,思考2答案：当f(x)是非多项式时，其任何的插值多项式除插值点外均有误差！,四、插值余项,定义 函数f(x)用n次插值多项式Ln(x)近似代替时，截断误差记为,称Rn(x)为n次插值多项式Ln(x)的余项,当 f (x)足够光滑时，有如下估计定理：,定理 设函数 f (x)在包含节点x0,x1,xn的区间a,b上连续，在(a, b)上具有n+1阶导数，Ln(x)为满足插值条件的n次插值多项式，则对任一点xa, b，总存在相应的点(a, b)，使,其中,注意 (1)根据
5、此定理可计算插值多项式的余项(误差)。 (2)定理中的下标意义不同Ln(x)和n+1(x)的下标表示次数，而Rn(x)的下标则不表示次数。 (3) 复习罗尔定理,证明,由给定条件知Rn(x)在插值基点xi (i=1,2,n)上为零，,其中K(x)是与x有关的待定函数。,现把x看成a,b上一个固定点，作函数,则,根据插值条件及余项定义，可知(t)在x0,x1,xn及x处均为0，故(t)在a,b上有n+2个零点，根据罗尔定理,在(t)的两个零点间至少有一个零,点，故 在a,b内至少有n+1个零点。依次类推， 在(a, b)内至少有一个零点，记为，使,于是,其中(a, b)且依赖于x。,将 K(x)
6、 代入余项表达式即可得到结论。,来看n+1(x)对Rn(x)的影响,| n+1(x) |是|Rn(x)|的一个因子，因而越小越好。当插值多项式的次数n确定，从而插值基点的个数n+1也确定之后，对于给定的x，,| n+1(x) |,对余项表达式的分析：,的大小就取决于插值基点的选取。为了使得 | n+1(x) | 尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。,定义： 设插值基点x0,x1,xn中最小者为a、最大者为b，当插值点x(a, b)时我们称为内插，否则称为外插,例1 给定数据表,x 2 3 4 5 6 7,f(x) 10 1
7、5 18 22 20 16,要用插值方法计算f(4.8)的近似值。问线性插值、二次插值和三次插值应选哪些基点？,解 如果用线性插值，就选,为基点。如果用二次插值，就选,为基点。如果用三次插值，就选,为基点。,例2 给定函数y=lnx在两点的值如表,试用线性插值求ln10.5的近似值，并估计截断误差。,解 记f(x)=lnx，取x0=10，x1=11，x=10.5，有,因为,故,插值余项为,所以,例3 设,求证,证：以 为节点进行线性插值，得,因,，故,根据插值余项定理，有,故,例4 已知函数y = lnx 的函数表如下：,分别用拉格朗日线性插值和二次插值求ln11.5的近似值，并估计余项。,解
8、 线性插值。取两个基点,插值基函数为,故线性拉格朗日插值函数为,将x=11.5代入得,其插值余项为,因为,而 在11与12之间，故,于是,二次插值。取三个基点,插值多项式为,所以,估计误差为,查表可得ln11.5=2.442347,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,When you start writing the program, you will find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial.,Oh yeah? What if I find the current interpolation not accurate enough?,Then you might want to take more interpolating points into account.,Right. Then all the Lagrange basis, li(x), will have to be re-calculated.,Excellent point ! We will come to discuss this problem next time.,作业： 习题 1，2，3，4，5,
