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1、图论算法1 最小生成树 11 生成树的概念 设图G(V，E)是一个连通图，当从图中任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分成两个集合A(G)和B(G)。其中A(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V，A)是图G的子图，则称子图G1是连通图G的生成树。图的生成树不是惟一的。如对图1(a)，当按深度和广度优先搜索法进行遍历就可以得到图1中(b)和(c)的两棵不同的生成树，并分别称之为深度优先生成树和广度优先生成树。 对于有n个顶点的连通图，至少有n-1条边，而生成树中恰好有n-1条边，所以连通图的生成树是该图的极小连通子图。若图G的生成树中任意加一条边属
2、于边集B(G)中的边，则必然形成回路。 求解生成树在许多领域有实际意义。例如，对于供电线路或煤气管道的铺设问题，即假设要把n个城市联成一个供电或煤气管道网络，则需要铺设n1条线路。任意两城市间可铺设一条线路，n个城市间最多可能铺设n(n1)/2条线路，各条线路的造价一般是不同的。一个很实际的问题就是如何在这些可能的线路中选择n-1条使该网络的建造费用最少，这就是下面要讨论的最小生成树问题。 1.2 网的最小生成树 在前面我们已经给出图的生成树的概念。这里来讨论生成树的应用。 假设，要在n个居民点之间敷设煤气管道。由于，在每一个居民点与其余n1个居民点之间都可能敷设煤气管道。因此，在n个居民点之
3、间，最多可能敷设n(n-1)/2条煤气管道。然而，连通n个居民点之间的管道网络，最少需要n-1条管道。也就是说，只需要n-1条管道线路就可以把n个居民点间的煤气管道连通。另外，还需进一步考虑敷设每一条管道要付出的经济代价。这就提出了一个优选问题。即如何在n(n-1)/2条可能的线路中优选n-1条线路，构成一个煤气管道网络，从而既能连通n个居民点，又能使总的花费代价最小。 解决上述问题的数学模型就是求图中网的最小生成树问题。把居民点看作图的顶点，把居民点之间的煤气管道看作边，而把敷设各条线路的代价当作权赋给相应的边。这样，便构成一个带权的图，即网。对于一个有n个顶点的网可以生成许多互不相同的生成
4、树，每一棵生成树都是一个可行的敷设方案。现在的问题是应寻求一棵所有边的权总和为最小的生成树。 如何构造这种网的最小生成树呢?下面给出这样一种解法： (1)已知一个网，将网中的边按其权值由小到大的次序顺序选取。 (2)若选某边后不形成回路，则将其保留作为树的一条边；若选某边后形成回路，则将其舍弃，以后也不再考虑。 (3)如此依次进行，直到选够(n-1)条边即得到最小生成树。 现以图2为例说明此算法。设此图是用边集数组EV表示的，且数组中各边是按权值由小到大的次序排列，如下表所示。 k12345678910EVk.p12242651115EVk.p23436475626COSTEVk.p1,EVk
5、.p2561011141819212733 按权值由小到大选取各边就是在数组中按下标k由1到en(图中边数)的次序选取。选前2条边(2，3)，(2，4)时均无问题，保留作为树的边；到第3条边(4，3)时将与已保留的边形成回路，将其舍去；同样继续做：保留(2， 6)；舍去(6，4)；保留(5，7)，(1，5)，(1，6)，此时，保留的边数已够(n-1)=6条边，此时必定将7个顶点全部互相连通了，后面剩下的边(1，2)，(5，6)就不必再考虑了。最后得到的最小生成树如图2a中深色边所示，其各边权值总和等于80。由离散数学中的图论可以证明，这就是最小生成树了，其权值最小。当图中有权值相等的边时，其最
6、小生成树可能有不同的选取方案。 实现此算法的关键是，在选取某条边时应判断是否与已保留的边形成回路。 这可用将各顶点划分为集合的办法解决：假设数组tag(1.en)作为顶点集合划分的标志初值为0。在算法的执行过程中，当所选顶点u，v是连通的，则将相应位置的tagu，tagv置以相同的数字，而不连通的点在初期分属不同的集合，置不同的数字；一旦两个不同的连通分支连通了，则修改tag的值，将新的连通分支改为相同的数字。我们以图2为例。首先选(2，3)(2，4)边，由于是连通的，并且不出现回路。tag2:1，tag3:=tag4:=1是同一个集合 A；选(6，2)边与A集合连通；tag6:=1；再选(5
7、，7)与集合A不连通，tag5: tag7:2构成另一集合B；选(1，5)边与集合B连通，tag 1:=2；此时，集合A 2，3，4，6；集合B5，7，1；当选(1，6)边时，(1，6)与集合A、集合B都连通，并且两个顶点分别属于两个不同的集合A、B，这使得集合A与集合B通过边(1，6)连通。修改集合B中tag的值，置为1，即将集合B并入集合A。边为n-1条，这就是一棵最小生成树。 根据集合标志数组tag的变化过程，很容易判断，选择一条新的边是否构成回路。当新选边的两个顶点u、v，若tagu和tagv相同并且均不等于0时，即u，v已在生成树集合中被保留过，加入u，v后即形成回路，不能选。而当t
8、ag utagv或者tagutagv0时，可以选并且不形成回路，说明u，v中至少有一个顶点未被选过或者被选过的u、v分别属于两个不同的集合，此时选择u，v可以将含u的集合与含v的集合连通，修改tag数组。如此下去，到所有顶点均已属于一个集合时，此最小生成树就完全构成了。 网的最小生成树算法描述如下： 假设算法中用到的数据结构是经过处理的。 COST(1.n，1.n)是带权数组存放网中顶点之间的权。EV(1.n*(n-1/2)按权从小到大存放排序后的顶点对，即EVK.P1存放一个顶点，边的另一顶点存放在EVK.P2之中。 tag(1.n)：顶点集合划分标志的数组。 Enumb：当前生成树的边数。
9、 SM：当前权累计和。 PROC minspanningtree(VAR cost；VAR ev)； Var tag； BEGIN CALL INITIAL(tag); Enumb：0；SM:=0; 诸参量初始化 k:=1; 边数累计 WHILE (Enumb=n-1) AND (kn) DO Begin U:=EVk.P1；V:=EVk.P2； 选一对顶点(U，V) CALL FIND(U，T)； 找到含顶点U的集合T CALL FIND(V，W)； 找到含顶点V的集合W IF (TW) THEN Begin write(u，v)；Enumb:=Enumb+1； 最小生成树增加一条边 SM:
10、=SM+COSTu，v； MERGE(T，W)；选u，v不会形成环，合并T，W集合，并修改tag end K:=K+1; 找下一条边 end IF Enumbw表示从城市v到城市W的航线，弧Vw上的标号代表从V城飞到w城所需要的时间。要寻找由该航空图上一给定城市到另一城市所需要的最短飞行时间。可以用求解这个有向图的单源最短路径算法来完成。 下面，我们讨论求解单源最短路径问题的贪心算法，也称Dijkstra算法。 设有向图G=(V，E)，其中，V=1，2，n)cost是表示G的邻接矩阵，costi，j表示有向边(i，j)的权。若不存在有向边(i，j)，则costi，j的权为无限大(oo)。令S是
11、一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。 (1)令顶点V0为源点，集合S的初态只包含顶点V0，即S=V0。数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为disti:=costv0，i，(i=2，n)。 (2)从S之外的顶点集合V-S中选出一个顶点W，使distW的值最小。于是，从源点到达W只通过S中的顶点，我们把W加入集合S。 (3)调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点V的距离：从原来的distv和distw+costw，v中选择较小的值作为新的distv。 (4)重复上述过程(2)和（3），直到S中包含V的全部顶点。 最终数组dist记录
12、了从源点到V中其余各顶点的最短路径。 对图3所示的加权有向图应用Dijkstra算法，从源点V2出发到达各顶点的最短路径如下表所示。 最短路径 - 源点 中间顶点 终止顶点 长度 2 5 10 3 15 3 4 30 3 1 35 6 oo - 对图3的执行过程：初始时，S2，dist1oo，dist315，dist4oo，dist510，dist6oo，第一遍处理时，W2使dist5最小、于是把5加入S。然后，调整dist中从源点到其余各顶点的距离：dist315，为次小，将3加入S。dist4cost2，3+cost3，4=15+1530，经中间点3。S2，5，3，4，同理，dist1cost2，3+cost3，135，S2，5，3，4，1，由于2没有一条到6的路径，所以dist6=oo。 由此我们给出最短路径算法如下PROC shortpath(VAR cost；VAR dist；VAR path；VAR S，V0)；BEGIN FOR W:=1 TO n DO Begin distW:=costV0，W;
