数理统计参考 答案

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1、习题一1 设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）； 2）； 3）； 4）.解 设总体的样本为，1）对总体，其中：2）对总体其中：3）对总体4）对总体2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1 频率分布表i0 1 2 3 4个数6 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1经验分布函数

2、的定义式为：，据此得出样本分布函数：图1.1 经验分布函数3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下： 组下限165 167 169 171 173 175 177组上限167 169 171 173 175 177 179人 数3 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.4 设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.解 因k较大，由中心极限定理,：所以：查表得：，.5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落

3、在50.8到53.8之间的概率.解 6 从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.由题意知：和相互独立，且： ， 7 设是总体的样本，试确定C，使得. 解 因，则，且各样本相互独立，则有：所以： 查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：试确定统计量的分布.解 由已知条件得：，其中.因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有，.9 设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：1） 2) 3)

4、4) 解 1) 2) 3) 4) 10 设为总体的样本，求与。解又因为 ,所以：11 设来自正态总体，定义：，计算.解 由题意知，令：，则 12 设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解 1)， 所以：2) 令： 所以： 计算可得：3) 查表可得： ，而取整数，.13 设和是两个样本，且有关系式：（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.解 因： 所以：即：14 设是总体的样本.1) 试确定常数，使得，并求出；2) 试确定常数，使得，并求出和.解 1）因：，标准化得：，且两式相互独立故：可得：，.2） 因：， 所以

5、：， 可得：.15 设分别是分布和分布的分位数，求证.证明 设，则： 所以： 故：.16 设是来自总体的一个样本，求常数，使： . 解 易知，则； 同理，则 又因：，所以与相互独立. 所以：计算得：c = 0.976.17 设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证： 1）； 2）； 3）.解 1）因：， 所以：， 又： 且：与相互独立 所以： 2） 由1）可得：3） 因：，所以：18 设为总体的样本，为样本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 设为总体的样本，试求：1）的密度函数； 2）的密度函数；解 因：， 所以的密度函数为：， 由定理： 20 设为总体的样本，试求

6、：1）； 2）解 21 设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：1）； 2）；3）解 1）因为：所以：，且与相互独立，由抽样定理可得：2）因为：，且与相互独立，所以：3）因为：，所以：，且与相互独立，由卡方分布可加性得：.22 设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？解 由抽样分布定理：,查表可得：，.23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，又因分别为两独立的样本方差：所以：. 24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率1）；2）.解 1）因，且各样本间相

7、互独立，所以：故：2）因：, 所以：25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：1） 已知；2） 未知，但已知样本标准差.解 1） 2）26 设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：1） 2）3）确定C，使.解 1） 2）其中,则 3）其中，则所以： ,计算得：. 27 设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数. 证明 所以：.28. 设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.解 因，为该总体的简单随机样本，令，则有 可得：习题二1 设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量 .现测

8、得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .解 计算其最大似然估计： 其矩估计为： 所以：，.2 设总体X服从区间0, 上的均匀分布，即，为其样本，1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解 1）矩估计量： 最大似然估计量：无解 .此时，依定义可得：2）矩法： 极大似然估计：.3 设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X的分布密度为：1）未知2）未知3）未知4) 未知5），其中参数未知6），

9、其中参数未知 7）未知8）解 1） 矩法估计：最大似然估计：.2) 矩估计： 最大似然估计：.3） 矩估计： 联立方程： 最大似然估计： ,无解，当时，使得似然函数最大，依照定义，同理可得.4) 矩估计：，不存在 最大似然估计：，无解；依照定义，.5) 矩估计： 即最大似然估计：，无解依定义有：.6) 矩估计： 解方程组可得：最大似然估计： 无解，依定义得， 解得 .7) 矩估计：最大似然估计：.8)矩估计：最大似然估计： .4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量 .解 记则；.5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工

10、作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 组中值 5 15 25 35 45 55 65频 数 365 245 150 100 70 45 25如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：.6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为,极大似然估计为：根据样本数据得到： .经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1

11、300小时的概率为0.0075.7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设为每升水中大肠杆菌个数，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量 .1）若时； 2）若均未知时 .解 1） ，的最大似然估计量为，所以 .2） 的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.9 设总体X具有以下概率分布： x01/31/401