实变函数论课后答案第四章1

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1、实变函数论课后答案第四章1第四章第一节习题1 证明：上的两个简单函数的和与乘积都还是上的简单函数证明：设，这里互不相交，互不相交 令， ， 则易知先注意：若，互不相交，则 （可为无穷大）（，使，且，则）且同理： 这显然还是一个简单函数，因为若，则，（），（），（），显然，事实上，若或则 当时则也是简单函数，显然仍为简单函数2 证明当既是上又是上的非负可测函数时，也是上的非负可测函数 证明：显然于，且于表明于 又， 由于在，上分别可测，和均为可测集，从而由P61推论2，为可测集，再由P101Th1知在上可测或直接用P104Th4的证明方法.3 设，是上几乎处处有限的非负可测函数，证明对，都有闭集

2、，使，而在上是有界的 证明：令，由条件在上几乎处处有限，.由可测于上知，是可测集（P103Th2,P64Th4可测集的交仍可测）令，则可测，且由P64Th5 ，而，则故，使，而故由，可测，闭集，闭集使 令，则为闭集，且在上 由于， 又 而，故 证毕.4 设是可测集合上的非负可测函数序列，证明：如果对任意，都有 ，则必有 又问这一命题的逆命题是否成立？ 证明：非负可测，令 则由CH1.1习题8的证明方法：（P11,见前面的习题解答） （一般，） 在本题的假设下，我们需证 由公式 （可测，故为可测集） 故而 所以我们只用证 由于，故 故得证，即 逆命题一般不成立的必要条件是 当时，不能推出于 （于

3、，但于） 当时，于 但不能保证5 设，在上非负可测，证明对于任意，都是可测的，进而证明使的最多有可数多个证明：因为在上可测，P103,Th2都是可测集，从而也是可测集显然，下证：，要么是空集，要么是有限集事实上，若使为无限集，则由P18,Th1,存在可数集由于时，矛盾6 证明：如果是上的连续函数，则在任何可测子集E上都可测.证明：，则从是上的连续函数，我们易知是开集.事实上若，则从，使，则，故是开集，从而可测.而可测，故作为两个可测集的交也可测，这说明在上可测（P103,Th2）.7 设是可测集上的单调函数，证明在上可测.证明：不妨设在上单调不减，即，若，则 ，我们来证明是可测集，这样由本节定

4、理2知可测于（P103）. 若使得，则显然可测 若使得，此时若令，则要么，要么（1） 若，则，故使， 由在上单调不减，我们有，即，从而为可测集（2） 若，则要么，要么若，则，此时，由单调不减于知，故，而，从而有，故为可测集.若，而，则，则即为可测集.若，则，同样可证可测. 若单调不增，则在上单调不减，从而可测，故在上可测.8证明中可测子集上的函数可测的充要条件是存在上的一串简单函数使 （）证明：（1）上的简单函数是可测的； 设为上的简单函数，互不相交，为的可测子集，易知，是可测的（可测是可测集） 故由P104Th5，可测，可测，由此，若存在上的一串简单函数， （）则从可测，且P107推论2，在

5、上可测（2）若可测，则由P107Th7，都是非负可测的，故由定义存在简单函数列，（）， （）显然，也是简单函数，由本节第一题，仍为简单函数，且 （）.证毕.9 证明：当是，是中的可测函数，且在上几乎处处有意义时，是上的可测函数.证明：（1）若，分别是，中的可测集，则函数 是上的可测函数，事实上， 若，则是可测集 若，则是可测集 若，则是可测集（P72Th1） (1) 推出(2): ,可测,可测，则在上可测. 现在来证明本题结论：在上可测，故由本节第8题结论，存在上的简单函数列，（当）使得，同样，从在上可测知，存在上的简单函数列，使于上.从上述（1）（2）知，在上可测，且 于上由上P107推论2

6、知在上可测.证法二（更简单）将，看成的函数，从在上可测知，为中的可测集，可测，故为中的可测集，故为中的可测集，则作为上的函数是可测的同理，在上也可测，P104Th5得在上也可测.10 证明：如果是定义于上的可测子集上的函数，则在上可测的充要条件是对中集合，都是的可测子集，如果还是连续的，则还是集（提示：用表示中那些使是上的可测子集的所构成的集合族，比较和中的集合类）.证明：记，我们来证明是一个-代数 1）：显然是的可测子集 2）若，是的可测子集，则 也是的可测子集（P61推论1） 则 3）若，（） 则，是的可测子集， 也是的可测子集，故 故是一个-代数现在，若是一可测函数，则 是为可测集（，都

7、是可测集（P60Th2） 则故包含所有的上的开集（由一维开集的构造），从而包含所有的集，这就证明了集，是的可测子集反过来，若集，是的可测子集，则由于，为开集，故是集知为可测集，故是上的可测函数.令，则一样：（1）；（2）； （3），故也是一个-代数若连续，则 （）是开集（相对于）,从而是集，故，从而包含所有的集，故集，同样为集若的同胚，则将集映为可测集11设是上的可测函数，是上的连续函数，证明：是上的可测函数（注意：如果在上连续，在上可测，未必可测，特别是，都可测时，未必可测）证明：，从连续知，显然为上的开集，由上的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造），至多

8、可数个互不相交的开区间使 （有限或） 而保持集合关系不变，即，而可测，故可测，故可测，从而有可测，故是上的可测函数存在反例：实分析中的反例，可测函数和连续函数构成不可测的复合函数设是中具有正测度的集，令 （无处稠密完备集P70,习题1）则是由到上的一个同胚映射，P54习题3的证明过程中（见周民强书P84），已知，若，是上的连续函数故从知，是连续函数：且是严格递增的 因是完备集，故是自密闭集，是相对开集（或是开集），是开集 ， 注意：是无处稠密集，故，使，由于为开集，故，使则故，即严格单调，从而到上的一个同胚映射设这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，从而，又因为 故以从是同胚， 注意：，且就得（也是完备疏集，则同胚不能保证测度的等号！）又，故由P66第二题的解答最后知，设是的一个不可测子集（总是存在的！）由于， 则，可测，而不可测.令，并在上如下定义函数则是上的可测函数，又是到上的连续函数，然而复合函数是不可测集的特征函数 所以，它是一个不可测的函数.12.证明：若是上的可微函数；则 都是上的可测函数.证明：只证的情形，其它一样证 在上可微，故， 故从这一原则知， 这里 ，由于可微，连续，故是连续的，从而可测，又连续，故可测，故其逐点收敛的极限也是可测的.