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1、数学模型实验实验报告10学院： 专 业： 姓 名： 学号：_ _ 实验时间：_ _ 实验地点： 一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一（SI模型）：（1）模型假设1.在疾病传播期内所考察
2、地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as（t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni（t），所以每天共有aNs（t）i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi又因为s（t）+i（t）=1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为： i(0)=i0（3）模型求解 （代码、计算结果或输出结果）syms a i t i0 % a：日接触率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：
3、病人比例在t=0时的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t); y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y) SI模型的it曲线 SI 模型的di/dti 曲线（4）结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在t-inf时，所有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS 模型模型二（SIS模型）（1） 模型假设假设条件1.2与SI模型
4、相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。（2）模型建立 病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 且 i（t）+s(t)=1；则有： di/dt=ai(1-i)-ui 在此定义k=a/b，可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：i(0)=i0;（2） 模型求解 （代码、计算结果或输出结果） syms a i u t i0 % a：日接触率，i：病人比例，u：日治愈率，i0：病人比例在t=0时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)
5、 % 求用u表示的it解析式 syms k % k：接触数 k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t) % 求用k表示的it解析式% 给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像 y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02); %k1的情况，以k=2为例 ezplot(y,0,100) pause %作it图，分析随时间t的增加, i的变化 gtext(1/k) legend(k1 本例中k=2)figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y) %作di/dti
6、的图像 gtext(1-1/k,在此图中为0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02); %k ezplot(y,0,100) %作it图，分析随时间t增加，i的变化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y) %作di/dti 的图像 legend(k=0.8) gtext(k1） SIS模型的it曲线（k1） SIS 模型的di/dti曲线 （k1） SIS模型的it曲线（k1时，i（t）的增减性取决于i0的大小，但其极限值i()=1
7、-1/k随k的增加而增加；当k0)和i0(i00)（不妨设移出者的初始值r0=0），则SIR模型的方程可以写作 （3）(3)模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算：设，用MATLAB软件编程：function y=ill（t，x）a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1 的数值计算结果t012345678i(t)0.02000.03900.07320
8、.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398 的图形 is图形（相轨线）（4）结果分析的图形见左图， 的图形见右图，称为相轨线，随着的增加，沿轨线自右向左运动。由上图结合表1可知，由初值增长至约时达到
9、最大值，然后减少，则单调减少。进行相轨线分析，可得：平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为 在方程（3）中消去，并注意到的定义，可得， （4） 容易求出它的解为 （5） 在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1. 不论初始条件如何，病人终将消失，即 （6）其证明如下，首先，由（3），而故存在；由（2），而，故存在，再由（1），对于充分大的有，这将导致，与存在相矛盾。2. 最终未被感染的健康者的比例是，在（5）式中令得到，是方程 （7）在内的根。在图形上，是相轨线与轴在内交点的横坐标。3. 若，则先增加，当时，达到最大值 （8）然后减小且趋近于0，则单调减小至。4. 若，则单调减少至0，单调
10、减少至。如果仅当病人比例有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么是一个阈值，当（即）时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数，即提高阈值，使得（即），传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值是一定的，通常可认为接近1）。并且，即使，从（7），（8）式可以看出，减少时，增加（通过作图分析），降低，也控制了蔓延的程度，我们注意到，在中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被个健康者交换，所以当即时，必有，既然交换数不超过1，病人比例绝不会增加，传染病不会蔓延。建模所得：1. 符号变量如何使用2. 如何求微分方程的解析解和数值解3. 对符号变量方程作图时，先将其中的符号变量赋值，再将其变成数值变量，这也是一种有效的解决方法。第7页 / 共7页
