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1、,6.2 三大统计分布,本节介绍数理统计中的三个著名分布，它们在参数估计和假设检验等统计推断问题中有广泛应用. 一、X平方-分布 定义6.1 设随机变量 独立且服从相同分布 ，则称 (6-8) 所服从的分布是自由度为n的 -分布，记为 ，称 为 -变量. 为纪念英国著名统计学家皮尔（K.Pearson，1857-1936）,- 分布也称为皮尔逊 -分布. 这是数理统计中一个十分重要的概率分布. 根据独立随机变量和的密度公式(3-27)和数学归纳法，可以证明： -分布的概率密度函数为（详见5） ，（6-9） 其中 是 -函数，定义见第四章附录2 图6.1是 -变量的概率密度函数(6-9)在几种不
2、同参数下的图像.,特别地，当 时， 服从参数 的指数分布. 此外， -分布具有以下性质： （1）数字特征. 若 ，则 ， . （2）可加性. 若 且 与 独立，则 . (6-10),为便于今后的应用，现在我们引入上侧分位数的概念. 所谓一个分布的 -上侧分位数就是指这样一个数，它使相应分布的随机变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 -变量 的 -上侧分位数为，则满足（见图6.2）.,对不太大的n，如 60，可用附表3查 的值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计算 , (6-12) 其中 是标准正态分布 的 -上侧分位数，可通过附表2查出.,二、t -分布,定义6.2 设 ， ，X与Y独立
3、，则称 (6-13) 所服从的分布是自由度为n的t-分布，记作 . t -分布也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特（Goset，1876-1937）在1908年“Student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的地位. 根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可以证明（过程从略）：(6-13)中的 概率密度函数为,根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可以证明（过程从略）：(6-13)中 的概率密度函数为 , . (6-14) 另外，t -分布具有以下性质： （1）（近似标准正态） 当 时， 这就是说，当n充分大时，t -分布 近似于标准正态分布 ，但如果n较小，这两个分
4、布的差别还是比较大的，见图6.3，,其中粗虚线是 的密度函数 . 我们看到，所有的t -分布密度函数值在 附近均未超过的值，而在两边的尾部均超过 了的值. 这就是统计学中所谓的“重尾”（Heavy Trails）现象.,（2）（数字特征）若 ， ，则 顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西（Cauchy）分布，它以其数学期望和方差均不存在而闻名（见例4.3）. 记t -分布 的 -上侧分位数为 ，附表4给出了不同n和 所对应的 数值. 另外，由性质（1）知，对较大的n（比如 60） ，可用下式近似 . (6-15),三、F -分布,定义6.3 设 且X与Y独立，则称 (6-16) 所服从的
5、分布是自由度为 的F-分布，记作 ，这是为纪念英国著名统计学家费歇（R.A. Fisher，1890-1962）而命名的F-分布也是数理统计的一个重要分布. 注意到(6-16)的商结构，则根据随机变量商的密度计算公式（3-34）可求得F-分布 的概率密度函数为（过程从略，详见3, 4）, (6-17) 图6.4是四组不同参数下该密度函数的图像.,另外，由定义6.3，立即有以下结论： 若 ，则 . 这个结论可用于计算分布 的 -上侧分位数 . 具体地说，我们有 . (6-18) 事实上，由 、 以及上侧分位数的定义可推出,故(6-18)式成立. 对较小的 （如0.1、0.05、0.025等）， 的数值可由附表5查得. 但附表5并未给出较大时的数值，此时，可用公式(6-18)求出 .,
