曲边梯形面积与定积分(1)

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1、Page 1,曲边梯形面积与定积分,微积分的创立,孕育 (16-17世纪),切线问题 极值问题 长度、面积、体积、重心,孕育,伽利略(意, 1564-1642)的切线构造,运动合速度方向的直线,1638年关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明,开普勒(德，1571-1630)的旋转体体积(1615),无穷小求和思想,孕育,1609、1619年行星运动三大定律,卡瓦列里(意, 1598-1647)的不可分量原理(1635),无穷小方法计算面积和体积,孕育,托里切利(意, 1608-1647)关于高次抛物线和双曲线的切线,面积比等于抛物线的幂指数比,孕育,笛卡儿(法，1596-1650)的

2、圆法及切线构造(1637),光的折射,牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路,孕育,矩形长条分割曲边形并求和,费尔马(法, 1601-1665)的极大极小方法(1629)和曲边梯形面积(1636),增量方法,孕育,巴罗(英, 1630-1677)的特征三角形与曲线切线(1664，1669),y/x对于决定切线的重要性,孕育,沃利斯(英, 1616-1703)的分数幂积分(1656),无穷小分析的算术化,孕育,牛顿(英，1642-1727年),Nature and Natures laws lay hid in night; God said, let Newton be! and a

3、ll was light.,自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说：让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。,牛顿(英，1642-1727年),“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失。” 1661年进入剑桥大学三一学院,笛卡儿几何学(1637) 沃利斯无穷算术(1656),1665年夏至1667年春: 牛顿科学生涯的黄金岁月,第一个创造性成果：二项定理(1665)及无穷级数(1666),1669-1701年任卢卡斯教授 1699年伦敦造币局局长 1703年皇家学会会长 1705年封爵,第一篇微积分文献: 流数简论(1666)（fluxion),牛顿(英，1642-1727年)

4、,“我把时间看作是连续流动或增长, 其他量则随时间而连续增长, 我从时间的流动性出发, 把所有其他增长速度称为流数。”,首末比方法: 求函数自变量与因变量变化之比的极限,符号:,令o=0,牛顿(英，1642-1727年),1687年力学名著自然哲学的数学原理出版。 运用微积分工具，严格证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结果，将其应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星及至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。,导论：定义、基本定理和定律，及相关的说明（绝对时空概念、运动合成法则、运动三定律、力的合成与分解法则、伽利略相对性原理） 第一篇：解决引力问题 第二篇：讨论物体在介

5、质中的运动 第三篇：论宇宙体系,牛顿(英，1642-1727年),原理由导论和三篇组成,牛顿(英，1642-1727年),牛顿：我不知道世人怎么看，但在我自己看来，我只不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为比别人找到一块更光滑、更美丽的卵石和贝壳而感到高兴，而在我面前的真理的海洋，却完全是个谜。 爱因斯坦：“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历好多个世纪而继续发出光和热。”,牛顿 （越南，1985）,牛顿(英，1642-1727年),牛顿的万有引力 （摩纳哥，1987）,牛顿(英，1642-1727年),行星的椭圆运动 （英国，1987）,牛顿(英，1642-1727年),苹果和自然哲学

6、的数学原理 （英国，1987）,牛顿(英，1642-1727年),牛顿(英，1642-1727年),剑桥大学三一学院牛顿的苹果树,微积分的创立,莱布尼茨(德，1646-1716年),1661年进入莱比锡大学 法学博士、外交官 1672-1676年留居巴黎 数学家 科学家 哲学家,帕斯卡(法, 1623-1662) 的特征三角形,自变量的增量x与函数的增量y为直角边组成的直角三角形,孕育,关于四分之一圆的正弦中“突然看到了一束光明”,孕育,莱布尼茨(德，1646-1716),第一篇发表的微分学论文: 一种求极大与极小值和求切线的新方法(1684),“凡熟悉微分学的人都能像本文这样魔术般做到的事情

7、，却曾使其他渊博的学者百思不解。” 第一篇发表的积分学论文: 深奥的几何与不可分量及无限的分析(1686),莱布尼茨(德，1646-1716),莱布尼茨在汉诺威 （圣文森特，1991）,1697年莱布尼茨著中国新事萃编(Novissima Sinica),莱布尼茨(德，1646-1716),“我们从前谁也不信这世界上有比我们的伦理更美满，立身处事之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，给我们以一大觉醒！东西双方比较起来，我觉得在工艺技术上，彼此难分高低；关于思想理论方面，我们虽优于东方一筹，而在实践哲学方面，实在不能不承认我们相形见拙。”,1859年李善兰和伟烈亚历译代微积拾级,“我国康熙(1

8、654-1722年)时，西国来本之、奈瑞创微分、积分二术。”,发现易图结构可以用二进制数学予以解释，用二进制数学来理解古老的中国文化，收藏了关于中国的书籍50多册，200多封信件中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者。,莱布尼茨和图解 （德国，1996）,莱布尼茨(德，1646-1716),微积分优先权之争,德丢勒(瑞士，1664-1753)1699年“牛顿是微积分的第一发明人” 1713年英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人” 英国与欧洲大陆数学家分道扬镳 莱布尼茨：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作”。 科学史上最不幸的一章,16-17世纪出生的数学家,微

9、积分的创立 世界进入一个崭新阶段,韦斯特福尔(美, 1924-1996)近代科学的建构 从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心的文化变革成为现在这样以科学为中心的文化。,引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积.,1,1,解:将区间0,1等分为n个小区间:,每个小区间的长度为：,1,1,矩形的高： 底：,矩形的面积：,1,1,矩形的面积和：,引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.,W=Fx,F(x)=kx,将区间0,b n等分:,解：,分点依次为：,则从0到b所做的功W近似等于:,引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.,引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积.,一、曲边梯形的面积,图4-1,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,求解曲边梯形面积的步骤：,（4-1）,步骤：分割，近似，求和，取极限,仿照上面方法：,=t0,tn=,步骤：分割，近似，求和，取极限,其中,积分上限,积分下限,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,小结,