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1、 2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1.i为虚数单位，则 (A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i解析：选B。 ，故2. 已知，则 (A) (B) (C) (D) 解析：选D ，故 ，即为3.已知函数，若，则x的取值范围为 (A) (B) (C) (D) 解析：选A.，令得：，于是，解之即得A。4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 (A) (B) (C) (D) 解析：选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时，显然可能和焦点组成正三角形，这样的三角形有2个，当抛物线的一点为原点时，取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点，因，故此时不能得到正
3、三角形，于是一共有2个满足条件的正三角形。5.已知随机变量服从正态分布，且，则 (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6解析：选B。由服从正态分布，得，故6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则 (A) (B) 2 (C) (D) 解析：选C。，代入，得：，又，故，于是，故7.如图，用K、三类不同的原件连接成一个系统，当K正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 (A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576解析：选B。 分两种情况：K正常且中一个正常，全部
4、正常。故8.已知向量，若x，y满足不等式，则z的取值范围为： (A) (B) (C) (D) 解析：选A。由得：，即，易知所表示的区域如图所示：故易得在上分别取最小值-3和最大值3。9.若实数a，b满足，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析：选C。，故至少有一个为0，不妨设，由，于是，同理可证：，故互补；反之若互补，由，不妨设则，即。综上。是a与b互补的充要条件。10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其
5、含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M（60）= (A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克解析：选A。，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2，所以，故。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.11.的展开式中，含的项的系数为 17 .（结果用数值表示）解析：的通项为：，的指数为，令，故的项的系数为12.在30瓶饮料中，有3瓶已过
6、了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）解析：。13.九章算术“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.解析：设九节竹子的容积分别为：，由题意：，解得：，于是14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系（其中轴与y轴重合）所在的平面，（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为（）已知平面内的曲线C/的方程是，则曲线C/在平面内的射影C的方程是 解析：设平面内的点在平面内的射影为，则，故在平面内的射影P的坐标为；另：由得，即15.给n个自
7、上而下相连的正方形着黑色或白色，时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种.，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种。（结果用数值表示）解析：由图：设黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，则，于是这个数列满足，所以。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分10分）设的内角A、B、C所对的边分别是，已知， （）求的周长 （）求的值。解析：（），故的周长为。 （），故A为锐角，17. （本小题满分12分）
8、提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,，当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。 （）当，求函数的表达式； （）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）解析：（）由题意：当时，=60，当时，设。再由已知得：解得：故函数的表达式为 （）由题意及（）可得：当时，为增函数，故当时
9、，其最大值为；当时，当且仅当时，等号成立。所以，当时，在区间上取得最大值。综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18. （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点C重合 （）当CF=1时，求证：; （）设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。解析：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得,于是，则，故 （）设,平面AEF的一个法向量为，则由（）得：，,于是由,可得,即，取又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为，于是又由为锐角可得：，所以。由，得，即故当时，即点F
10、与点重合时，取得最小值19. （本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足： （）求数列的通项公式 （）若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论。解析：（）由已知可得，两式相减可得，即，又，所以当r=0时，数列为a,0,0,0，；当时，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比数列，当时，。综上，数列的通项公式为：（）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：当r=0时，由（），知，故对于任意的，且，7成等差数列；当时，。若存在，使得成等差数列，则，即，由（），知的公比，于是对于任意的，且，从而，即成等差数列。综上，对于任意的，且，成等差数列。20. （本
11、小题满分14分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹，加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。 （）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系； （）当m=-1时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为。设是的两个焦点。试问：在上是否存在点N,使得的面积。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。解析：（）设动点为M，其坐标为，当时，由条件可得：，即，又的坐标满足，故依题意：曲线C的方程为当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线； （）由
12、（）知，当时，曲线的方程为，当时，的两个焦点分别为对于给定的，上存在点，使得的充要条件是由的，由得，当，即或时，存在点N使得，；当，即或时，由，可得令，则由可得，从而，于是由可得：，即综上可得：当时，在上，存在点N,使得的面积，且当时，在上，存在点N,使得的面积，且当时，在上，不存在满足条件的点N。21. （本小题满分14分）（）已知函数求函数的最大值；（）设均为正数，证明：（1）若，则（2）若，则。解析：（）的定义域为，令，解得当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；故函数在x=1处取得最大值（）（1）由（）知，当，有，即，从而有，得。求和得：，即 （2）先证：。令，则，于是由（1）得，即，。再证记,令，则，于是由（1）得，即，综合，（2）得证。
