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1、第一章 量子力学的诞生1.1设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 （1）其中由下式决定：。 0 由此得 ， （2）即为粒子运动的转折点。有量子化条件得 （3）代入（2），解出 （4）积分公式： 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即 （：一来一
2、回为一个周期）,同理可得， , ,粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量。 解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件 ，因而平面转子的能量，1.4有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: (1)又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 (2)即 (3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋
3、转频率, ,代入前式得运动电荷的磁势能= (符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常数，因而，
4、存在约束条件： （2）求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)再求（2）的变分 (3)与(4)消去和得 (5)乙法见同一图,取为变分参数,取0为原点，则有: 求此式变分,令之为零,有： 这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度应等于光波的群速度光程原理作,依前题相速,而,是折射率,是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前一非难是将光子的传播速度看作相速度的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出: (1) (2)试根据哈密顿量 (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得
5、出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,因而 (4)从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定 （是频率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：， （7）补充：1.1设
6、质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 （1）又据de Broglie关系 （2）而能量 （3） 1 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E则 代入公式得: 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,(1)改写为: (2)积分得:遍乘得乙法也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分:
7、(4)求积分: (5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得 正整数#2用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 (解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: (1) (2) (3)都是常数,总动量平方总能量是: =但 正整数.#3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚
8、体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有 (1)(1) 说明是量子化的(2) (.) (2)(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)第二章：函数与波动方程P69 当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是 将方程式左边加减相等的量得: 这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。设粒子势能的极小值是Vmin 证明 (证)先求粒子在某一状态中的平均值能
9、量其中动能平均值一定为正: = =用高斯定理: =中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量平均值 因此令(本征态)则而得证2.1设一维自由粒子的初态， 求。解： 2.2对于一维自由运动粒子，设求。 （解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是，能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令应有 （2）但按题意，此式等于。但我们知道一维函数一种表示是： （3）将（2）（3）二式比较：知道，并且求得，于是（1）成为 （4
10、）这是符合初条件的波函数，但之间尚有约束条件（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4） （5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： 利用积分 ： 写出共轭函数（前一式变号）： 本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。2.2 设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式 或 。解：作Fourier变换： ， （） 令 ，则 。2.3 设一维自由粒子初态为，证明在足够长时间后式中 是的Fourier变换。提示：利用 。证：根据平面波的时间变化规律 ， ，任意时刻的波函数为 （1）当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数
11、具有函数的性质，取 ， ， （2）参照本题的解题提示，即得 （3） （4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.41.72.5设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度）（b）证明能量守恒公式 ， （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4）且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变）所以 。粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式： 又设则有公式得证。2.6考虑单粒子的Schrdinger方程 （1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3）即 ，此即几率不守恒的微分表达式。利用高斯定理将右方第一项变形：
